Encontrar la distancia del origen a la superficie $xy^2 z^4 = 32$ utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange

Question

El problema: Encuentra la distancia del origen a la superficie $xy^2z^4 = 32$ .

Intento: La ecuación de Lagrange para este problema es $L(x,y,z, \lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (xy^2 z^4 - 32)$ . Poniendo los primeros parciales a cero tenemos \begin{align*} \frac{\partial L}{\partial x} &= 2x + \lambda y^2 z^4 = 0 \qquad (1) \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 2y + 2 \lambda x y z^4 = 0 \qquad (2) \\ \frac{\partial L}{\partial z} &= 2z + 4 \lambda x y^2 z^3 = 0 \qquad (3) \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} &= xy^2 z^4 - 32 = 0 \qquad (4) \end{align*} Ahora me cuesta resolver este sistema para $x,y$ y $z$ . Esto es lo que he hecho hasta ahora. Desde $(1)$ y $(2)$ obtenemos \begin{align*} \frac{2x}{y^2 z^4} = - \lambda \qquad \text{and} \qquad \frac{1}{xz^4} = - \lambda \end{align*} Así, $\frac{2x}{y^2 z^4} = \frac{1}{xz^4} $ o $y^2 = 2x^2$ después de la simplificación. Además, a partir de $(2)$ y $(3)$ podemos deducir que \begin{align*} \frac{1}{xz^4} = - \lambda = \frac{2z}{4xy^2 z^3} \end{align*} para que $2y^2 = z^2$ tras la simplificación. Ahora utilicé todo esto y lo sustituí en $(4)$ . Esto me dio \begin{align*} x(2x^2) (4y^4) - 32 = 0 \end{align*} o (ya que $y^4 = 4x^4)$ \begin{align*} 8x^3 (4x^4) - 32 = 0 \end{align*} Esto significa que $32x^7 - 32 = 0$ para que $x = 1$ . Entonces $y^2 = 2$ para que $y = \pm \sqrt{2}$ . Entonces $z^2 = 4$ para que $z = \pm 2$ . Así que encontré los puntos $(x,y,z) = (1, \sqrt{2}, 2)$ y $(1, - \sqrt{2}, -2)$ . Ambos me dan la distancia $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{7}$ así que supongo que son iguales. ¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

Su solución es correcta, excepto la última parte. Deberías obtener cuatro puntos de minimización. (Usted asumió erróneamente que $y$ y $z$ deben ser ambos positivos o ambos negativos).

Sin embargo, existe una solución sin utilizar multiplicadores de Lagrange. Obsérvese por AM-GM que $$x^2+y^2+z^2=x^2+2\left(\frac{y^2}{2}\right)+4\left(\frac{z^2}{4}\right)\geq 7\sqrt[7]{x^2\left(\frac{y^2}{2}\right)^2\left(\frac{z^2}{4}\right)^4}=7\sqrt[7]{\left(\frac{xy^2z^4}{32}\right)^2}=7\,.$$ La igualdad se mantiene si $x^2=\frac{y^2}{2}=\frac{z^2}{4}$ , lo que significa que $(x,y,z)=\big(1,\pm\sqrt{2},\pm 2\big)$ . Por lo tanto, la distancia requerida es $\sqrt{7}$ .

Answer 2

Otra posibilidad. La primera, $$\tag{$ * $} xy^2z^4 = 32 \Longrightarrow y^2 = \frac{32}{xz^4}. $$ Obsérvese que podemos dividir arbitrariamente por $x,y$ o $z$ ya que cualquier punto con una coordenada igual a $0$ no pertenecen a su superficie.

Ahora, considere la al cuadrado norma de un punto genérico $(x,y,z)$ y utilizar $(*)$ : $$ x^2+y^2+z^2 = x^2 + \frac{32}{xz^4} + z^2 =: N(x,z). $$ Queremos minimizar $N(x,z)$ en $\mathbb{R}^2$ . Así, buscando los ceros del gradiente, obtenemos el sistema $$ \begin{cases} 0 = \frac{\partial N}{\partial x}(x,z) = 2x - \frac{32}{x^2z^4},\\ 0 = \frac{\partial N}{\partial z}(x,z) = 2z - \frac{128}{xz^5}, \end{cases} $$ que se resuelve con $x = 1$ y $z = \pm 2$ . En particular, el mínimo es $7$ .

Answer 3

Una pista:

Multiplicar $(1)$ por $x$ , $(2)$ por $y$ y $(3)$ por $z$ y mira las tres ecuaciones que tienes.