Fibra en el infinito de una superficie aritmética $X$ como elemento de $\widehat{\operatorname{Div}(X)}$

Question

Introducción:

Dejemos que $M$ sea una superficie de Riemann, entonces una función de Green sobre $M$ es un elemento $g\in C^\infty(V)$ donde $V=M\setminus\{x_1,\ldots,x_r\}$ y alrededor de cada punto $p\in M$ que tenemos:

$$g=a\log\left|\phi\right|^2+u$$ donde $\phi$ es un gráfico complejo centrado en $p$ , $u$ es un $C^\infty$ función y $a\in \mathbb R$ es independiente del gráfico elegido. Denotamos $\operatorname{ord}_p(g):=a$ .

Las funciones verdes en $M$ forman un espacio vectorial $G(M)$ y tenemos un homomorfismo de grupo $$\operatorname{div^G}:G(M)\to\operatorname{Div}(M)\otimes_\mathbb Z\mathbb R$$ $$g\mapsto\sum_p\operatorname{ord}_p(g)\{p\}$$

Así, cada función de Green define un divisor real en $M$ . Los componentes de $\operatorname{div^G}(g)$ son exactamente los puntos donde $g$ no está definido. Ahora dejemos que $K$ sea un campo numérico con un anillo de enteros $O_K$ y que $\pi:X\to\operatorname{Spec} O_K$ sea una superficie aritmética regular proyectiva. Para toda incrustación de campo $\sigma:K\to \mathbb C$ obtenemos una superficie de Riemann $X_\sigma:X\times_\sigma\operatorname {Spec}\mathbb C$ y para cada divisor $D\subset X$ , $D_\sigma$ es el divisor de pullback de $D$ a través del mapa canónico $X_\sigma\to X$ .

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Pregunta:

El grupo de divisores aritméticos de $X$ puede definirse de la siguiente manera: $$\widehat{\operatorname{Div}(X)}:=\left\{\left(D,\sum_\sigma g_\sigma\sigma\right)\in \operatorname{Div(X)\times\bigoplus_\sigma G(X_\sigma)\sigma}\,:\, \operatorname{div^G}(g_\sigma)=D_\sigma,\;\forall\sigma\right\}$$

El significado de esto es bastante obvio: un elemento $\left(D,\sum_\sigma g_\sigma\sigma\right)$ puede ser visto "físicamente" como el divisor $D$ más el conjunto finito de puntos donde $g_\sigma$ no está definida para cada superficie de Riemann $X_\sigma$ .

No entiendo por qué el divisor aritmético $F_\sigma:=(0,2\sigma)\in \widehat{\operatorname{Div}(X)}$ se suele identificar con la "fibra en el infinito" $X_\sigma$ . En particular, ¿cuál es el significado de la constante $2$ ? ¿Cómo puedo ver $F_\sigma$ como la superficie de Riemann $X_\sigma$ ?

Answer 1

Esta es otra forma de ver las cosas desde abajo, siguiendo las ideas de Arakelov en su artículo.

Dejemos que $X$ sea una curva sobre $K$ , donde $K$ es un campo numérico. Sea $\infty$ denotando las valoraciones arquimédicas de $K$ a $\mathbb{C}$ . Sea $\sigma\in \infty$ entonces $X_{\sigma}=X_{K}\otimes_{\sigma}\mathbb{C}$ . Se trata de una curva algebraica unidimensional sobre $\mathbb{C}$ por lo que es una superficie de Riemann. En particular, toda incrustación de $K$ en $\mathbb{C}$ se presentan en pares conjugados. Así que tiene sentido agruparlos e identificar $\sigma$ , $\overline{\sigma}$ juntos. Claramente $X_{\sigma}=\overline{X_{\overline{\sigma}}}$ y son lo mismo que las superficies de Riemann.

En el trabajo posterior la gente suele tomar el $v$ -Cumplimiento de la distancia de $K$ directamente. Entonces tenemos dos casos: o bien $\overline{K_{\sigma}}=\mathbb{R}$ o $\overline{K_{\sigma}}=\mathbb{C}$ . El emparejamiento de intersección adquirió un significado específico como la parte finita: Recordemos que en la parte finita tenemos $$ (D,E)_{v}=\log(q_v)*\textrm{ordinary intersection index} $$ donde $q_v$ es el grado de extensión del campo de residuos en $v$ . Entonces es natural definir el coeficiente analógico en el infinito utilizando el grado de extensión del campo funcional por $\epsilon_v=1$ para $K_v=\mathbb{R}$ y $\epsilon_v=2$ para $K_v=\mathbb{C}$ . Esto corresponde a la intuición clásica de que los primos archimeadeanos deben ser vistos como no ramificados con grado de extensión 1 o 2. El índice de intersección toma así la siguiente forma: $$ (D,E)_{v}=\epsilon_v\cdot G(D,E) $$

Puede ser útil recordar por qué tenemos el $\log(|x|)$ ampliación sobre la diagonal para las funciones de Green en 2D. El laplaciano en coordenadas polares puede escribirse como $$ \Delta=\frac{\partial}{\partial^2 r}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial^2 \theta} $$ Así que si asumes que la solución es simétrica a la rotación, entonces el último término desaparece y resuelves una EDO de primer orden en términos de $r$ , con lo que se obtiene la expresión deseada para la función de Green. Si se conoce $\Psi DO$ teoría, el reventón se puede ver con mucha precisión por $$ \int \frac{1}{|\xi|^2}e^{i(x-y)\cdot \xi}f(y)dyd\xi=2\pi\int \log(|r|)dr e^{i(x-y)\cdot \xi}dy $$ Así que desde la perspectiva de la teoría de Arakelov la función de Green entró de forma bastante natural ya que son únicas, simétricas y tienen el comportamiento de decaimiento requerido en la diagonal. Desde el punto de vista del análisis, no hay nada misterioso en la constante 2; se puede sustituir por 1 si se reemplaza la función de Green por la función de Neron. Pero hace que la teoría sea más limpia.