Si un partido de tenis fue un único conjunto grande, ¿cuántos juegos daría la misma precisión?

Question

El tenis tiene una peculiar tres niveles del sistema de puntuación, y me pregunto si esto tiene algún beneficio estadístico, desde el punto de vista de un partido como un experimento para determinar el mejor jugador.

Para aquellos no familiarizados, en condiciones normales de reglas de un juego es ganado por el primero a 4 puntos, siempre y cuando usted tiene una 2 puntos de ventaja (por ejemplo, si se 4-2 ganar, pero el 4-3, usted necesita 1 punto más, y seguir adelante hasta que un jugador es de 2 por delante).

Un conjunto es una colección de juegos, y un set es ganado por el primero a 6, de nuevo tener que ganar por 2, excepto que esta vez un especial de desempate se jugó el partido en lugar de llevar (con excepción de la serie final del torneo de Wimbledon, etc...)

El partido es ganado por el primero a los 2 o 3 juegos en función de la competencia.

Ahora, el tenis también es raro que los juegos son injustas. Para cualquier punto dado que el servidor tiene una gran ventaja, por lo tanto cada juego de el servidor de suplentes.

En un desempate de juego en la que se sirven los suplentes después de cada punto, y es el primero de 7 puntos, de nuevo con 2 puntos de ventaja.

Supongamos que el jugador a tiene una probabilidad de ganar el punto en sus sirven de $p_s$ y al recibir $p_r$.

La pregunta es la siguiente, supongamos que

A) sólo jugó al tenis como un gran "mejor de los N de los juegos", ¿cuántos juegos daría la misma exactitud como normal mejor de 5 sets de tenis

B) sólo jugó al tenis como un gran juego de desempate, ¿cuántos puntos daría la misma exactitud como normal mejor de 5 juegos de tenis?

Obviamente estas respuestas dependen de la $p_s$ $p_r$ valores en sí mismos, así que también sería bueno saber

C) ¿Cuál es el número esperado de juegos y puntos jugaron en el tenis normal, suponiendo constante $p_s$, $p_r$

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La Definición De "Exactitud"

Si asumimos que la habilidad de ambos jugadores se mantiene constante, entonces, si se la jugaron por una longitud infinita de tiempo, uno o el otro jugador iba a ganar casi seguro, independientemente del formato de juego. Este jugador es el "correcto" ganador. Estoy bastante seguro de que la correcta ganador es el jugador para el que $p_r+p_s > 1$.

Un mejor formato de juego, es uno de los que genera la correcta ganador más a menudo, para el mismo número de puntos que jugó, o por el contrario genera la correcta ganador con igual probabilidad en algunos puntos jugados.

Answer 1

Si usted juega juegos de a $4$ puntos, donde tienes que ganar por $2$, puede suponer que el juego de los jugadores de 6 puntos. Si ningún jugador gana por $2$, entonces la puntuación está ligado $3-3$, y luego jugar los pares de puntos hasta que un jugador gana. Esto significa que el tener la oportunidad de ganar un juego de a $4$ puntos, cuando la posibilidad de ganar cada punto es $p$, es

$$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$$ .

En el nivel superior de los hombres de jugar, $p$ podría ser $0.65$ para el servidor. (Sería $0.66$ si los hombres no decae en la segunda sirven). De acuerdo a esta fórmula, la oportunidad de mantener su saque es acerca de $82.96\%$.

Supongamos usted está jugando un desempate a $7$ puntos. Usted puede asumir que los puntos que se juegan en parejas donde cada jugador sirve a uno de cada par. Que sirve primero no importa. Usted puede asumir que los jugadores juegan $12$ puntos. Si ellos están empatados en ese punto, entonces juegan par hasta que un jugador gana dos de un par, lo que significa que el condicional probabilidad de ganar es $p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$. Si tengo que calcular correctamente, la oportunidad de ganar un desempate a $7$ puntos es

$$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$$

Si $p_s=0.65, p_r=0.36$, entonces la posibilidad de ganar el desempate se acerca $51.67\%$.

A continuación, considere un conjunto. No importa que sirve en primer lugar, lo cual es conveniente porque de lo contrario tendríamos que considerar la posibilidad de ganar el set, mientras que el servir siguiente versys ganar el set sin mantener el servicio. Para ganar un set a $6$ de los juegos, se puede imaginar que $10$ juegos se juegan primero. Si la puntuación está ligado $5-5$, a continuación, juego $2$ más de juegos. Si no determinar el ganador, luego de jugar un desempate, o en el quinto set sólo repite la reproducción de pares de juegos. Deje $p_h$ la probabilidad de que la celebración de servir, y deje $p_b$ la probabilidad de romper a su rival para servir, que puede ser calculado por encima de la probabilidad de ganar un juego. La oportunidad de ganar un set sin un tie-break sigue la misma fórmula básica como la oportunidad de ganar un desempate, excepto que estamos jugando a $6$ juegos en lugar de a $7$ puntos, y sustituimos $p_s$$p_h$$p_r$$p_b$.

El condicional oportunidad de ganar un quinto set (un conjunto de desempate) con $p_s=0.65$$p_r=0.36$$53.59\%$.

La oportunidad de ganar un set con un desempate con $p_s=0.65$$p_r=0.36$$53.30\%$.

La oportunidad de ganar una de las mejores de $5$ conjuntos partido, sin desempate en el quinto set, con $p_s=0.65$$p_r=0.36$$56.28\%$.

Así, para estas tasas de victoria, ¿cuántos juegos se tiene que estar en un set de tener el mismo poder de discriminación? Con $p_s=0.65, p_r=0.36$, ganar un set a $24$ juegos con la costumbre de desempate $56.22\%$, y ganar un set a $25$ con un juego de desempate posible $56.34\%$ del tiempo. Sin desempate, la oportunidad de ganar un enfrentamiento normal es entre conjuntos de longitud $23$$24$. Si usted simplemente jugar una gran desempate, la oportunidad de ganar un desempate de longitud $113$ $56.27\%$ y de la longitud de la $114$$56.29\%$.

Esto sugiere que la reproducción de un gigantesco conjunto no es más eficiente que el mejor de 5 partidos, pero jugando un gigante de desempate sería más eficiente, al menos para asemejar los competidores que tienen una ventaja de servir.

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Aquí es un extracto de mi de Marzo de 2013 GammonVillage columna, "Juego, Set y Partido". He considerado que la moneda se da la vuelta con un fijo de ventaja ($51\%$) y preguntó si es más eficiente para jugar un gran partido o una serie de cortos de partidos:

... Si el mejor de los tres es menos eficiente que un solo partido, nos podría esperar un mejor de cinco a ser peor. Usted puede ganar al mejor de cinco a $13$ punto coincide con la probabilidad de $57.51\%$, muy cerca de la oportunidad de ganar un solo partido a $45$. El promedio de número de partidos al mejor de cinco es $4.115$, por lo que el número promedio de juegos de es $4.115 \times 21.96 = 90.37$. De supuesto esto es más que el máximo número de partidos posibles en un partido a $45$, y el promedio es $82.35$. Se ve como una más de la serie de los partidos es aún menos eficiente.

Cómo acerca de otro nivel, al mejor de tres series de la mejor de las tres los partidos de a $13$? Ya que cada serie iba a ser como un partido a $29$, este la serie de la serie, sería como un mejor de tres partidos a $29$, sólo menos eficiente, y un largo partido podría ser mejor que eso. Así, uno de los largo partido sería más eficiente que el de la serie de la serie.

¿Qué hace que una serie de partidos menos eficiente que un partido largo? Considerar estos tests estadísticos para la recogida de evidencias para decidir qué jugador es más fuerte. En un mejor de tres partidos, se puede perder un serie con puntuaciones de $13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$. Esto significa que usted ganaría $36$ juegos para tu oponente $33$, pero su rival iba a ganar la serie. Si usted lanza una moneda y obtener $36$ jefes y $33$ colas, usted tiene evidencia de que la cabeza es más probable que las colas, no es que las colas es más probable de los jefes. Así, un mejor de tres partidos es ineficiente porque los desechos de la información. Una serie de coincidencias que se requiere más datos sobre el promedio porque a veces los premios de victoria del jugador que ha ganado menos juegos.