Pruebas empíricas:
En primer lugar, para fijar nuestras ideas, supongo que estás hablando de un perfil de viento tangencial que se parece a esto:
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$\phantom{texttexttexttexttexttexttexttexttextte}$
El gráfico muestra el perfil del viento tangencial (promediado azimutalmente, es decir, promediado a lo largo de los círculos) en función del radio a una altura fija. Al observar esta imagen, uno recuerda naturalmente un Rakine vortex que consiste en un núcleo de vórtice forzado rodeado por un vórtice libre. Usted dijo:
[...] un vórtice forzado tiene un perfil de velocidad u∝r (r es la distancia radial desde el centro del vórtice), que concluye en algún límite exterior r=R para evitar que las partículas del fluido viajen a velocidad infinita. En este límite exterior requiere que se suministre constantemente un par externo para seguir avanzando.
El concepto erróneo aquí es que en un ciclón tropical, no hay un límite sólido (ni efectivamente sólido) en el punto en el que el vórtice "forzado" hace la transición a la parte "libre". No hay una pared que imparta impulso al fluido por fricción de pared como en el cilindro.
¿Por qué gira el aire en un ciclón?
Porque es un sistema de baja presión. En una buena aproximación (suponiendo que podamos despreciar la fricción), existe un equilibrio de fuerzas entre la fuerza del gradiente de presión, la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga:
$$ -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}+fv+\frac{v^2}{r} = 0, \tag 1$$
donde denoto por $v$ la velocidad tangencial y $f$ es el parámetro de Coriolis. Puede ser interesante que el equilibrio aproximado (1) se desprende de un análisis de escala de la ecuación radial de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas. El equilibrio (1) suele llamarse "equilibrio del viento de gradiente". De (1) se deduce que en un sistema de baja presión ( $\frac{\partial p}{\partial r}<0$ ), habrá movimiento ciclónico ( $v>0$ ) para mantener el equilibrio, de ahí el nombre de "ciclón" para los sistemas de baja presión.
Así que, hablando claro, el ciclón tropical no debe (o no puede) compararse con el agua en un tanque cilíndrico giratorio que se mantiene en rotación del cuerpo sólido por un par de torsión externo en el cilindro. Más bien, el aire gira debido al déficit de presión entre el entorno y el ojo del ciclón. Por lo tanto, la cuestión de qué proporciona el par en el "límite exterior" para mantener la rotación del cuerpo sólido es engañosa, ya que en un ciclón no existe tal límite.
Por qué el perfil del viento de un ciclón tropical es más complicado que un vórtice de Rankine:
El modelo de vórtice de Rankine (al igual que los modelos de vórtice libre y forzado individualmente) describe un vórtice con simetría de eje en un fluido bidimensional (todo el movimiento se produce en el plano horizontal y el movimiento es independiente de z). Un ciclón tropical real no es exactamente simétrico y, lo que es más importante, es en gran medida una estructura de flujo tridimensional. Antes de continuar, permítanme decir unas palabras sobre el aspecto de esa estructura:
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$\phantom{texttettexttextte}$
Debido a la baja presión en el centro del ciclón, el aire se pone en movimiento circular según (1). Sin embargo, existe una capa cercana a la superficie denominada "capa límite planetaria" en la que el equilibrio (1) se rompe por efectos de fricción. En este caso, el flujo ya no se produce a lo largo de un radio constante, sino que tiene una componente que va de la alta a la baja presión (es decir, una componente radial). Las masas de aire convergen en el centro del ciclón y, por lo tanto, se ven obligadas (por la conservación de la masa) a ascender en la llamada pared ocular. A medida que el aire asciende, el vapor de agua se condensa liberando calor latente y dando a los paquetes de aire más flotabilidad para que puedan seguir subiendo hasta la tropopausa. esto ilustra el hecho de que la tridimensionalidad junto con los efectos termodinámicos hacen del ciclón un problema más complicado que los vórtices forzados o libres teóricos.
Una primera (tentativa) explicación:
No obstante, podemos explicar por qué el perfil de velocidad tiene el aspecto que tiene. Para empezar, recordemos que las cantidades conservadas (incluso de forma aproximada) son útiles cuando se trata de entender problemas de física, así que veamos si podemos encontrar una aquí. La componente acimutal de las ecuaciones NS en polos cilíndricos dice $$\frac{1}{r}\frac{D(vr)}{Dt}+fu = -\frac{1}{\rho r}\frac{\partial p}{\partial \theta} + F \tag{ 2},$$ donde $D/Dt$ es la derivada material, $(u,v)$ son el viento radial y azimutal respectivamente, $\theta$ es el ángulo azimutal y F es la fricción. Definición de $M=rv+\frac{1}{2}fr^2$ El momento angular absoluto y el tratamiento de $f$ como una constante, se deduce de (2) que $$\frac{DM}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}+ Fr \tag{3}$$ Ahora bien, si los efectos de la fricción son despreciables y el flujo es axisimétrico, el RHS puede ponerse a 0 y el momento angular absoluto se conserva materialmente. Teniendo esto en cuenta, consideremos una parcela de aire en la atmósfera ambiente que es "aspirada" hacia el ciclón. A medida que la parcela de aire se desplaza hacia el interior, conservando aproximadamente su momento angular absoluto, su velocidad tangencial $v$ tiene que aumentar. Cuando $M$ está dominado por el $rv$ (lo cual es probable porque $f$ es muy pequeño), entonces tiene que aumentar aproximadamente como $v\approx \frac{1}{r}$ es decir, como un vórtice libre (qué bonito es esto ^^). Sin embargo, el vórtice libre no puede extenderse hasta $r=0$ ya que la velocidad tangencial debe ir a cero en el origen debido a los efectos de la fricción. De ahí que esperemos que haya un máximo en algún radio finito. La única pregunta que queda es por qué el fluido del interior del ojo está en rotación de cuerpo sólido, o lo que es lo mismo:
¿Por qué la componente vertical de la vorticidad es homogénea dentro del ojo del ciclón?
Asumiendo la axisimetría, esta pregunta es equivalente a tu pregunta original porque $v=\omega r \Rightarrow \zeta = \frac{1}{r}\frac{\partial(rv)}{\partial r} =2\omega = \textrm{const.}$ para $\omega=\textrm{const.} $ Ofreceré dos explicaciones: la primera es más manoseada (y posiblemente no del todo correcta), la otra es más matemática, pero quizá menos transparente para usted, a menos que tenga tiempo de repasar las matemáticas.
- Dado que la velocidad debe llegar a cero entre el radio de viento máximo y $r=0$ Hay una cizalladura importante (es decir, un gran gradiente de velocidad). Este flujo de cizalladura en el ojo puede alimentar la turbulencia según la ecuación de energía cinética de la turbulencia , mira el término de "producción de cizallamiento". La difusión turbulenta es, a su vez, un mecanismo por el que la vorticidad podría homogeneizarse dentro del ojo.
Este argumento es un poco forzado porque aunque el término de producción de cizalladura en la ecuación de TKE es (empíricamente) casi siempre positivo en la atmósfera, es imposible saber si será así en este caso ya que no conocemos el signo del término de correlación de los remolinos. Además, hay muchos otros términos en la ecuación TKE que podrían anular los efectos de la producción de cizalladura.
- Más formalmente, podemos hacer lo siguiente: además del equilibrio del viento gradiente (1) que se mantiene en la horizontal, existe (de nuevo con una buena aproximación) un equilibrio hidrostático en la vertical entre la gravedad y el gradiente de presión vertical: $$ -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g=0 \tag 4$$ .
A partir de estos dos equilibrios, una forma de la 1ª ley de la termodinámica y dos leyes de conservación, Emanuel (1986) (es un artículo muy famoso en meteorología) derivó (en la página 3 y arriba de la p.4) una ecuación que relaciona M y la distribución de la entropía específica $s$ en el ciclón, su ecuación (13). Al realizar mi proyecto en el Imperial, descubrí que la entropía específica a altura fija sigue muy de cerca una distribución gaussiana:
$$s(r) = \Delta s e^{-r^2/\left(2\lambda^2\right)}+s_\textrm{env}, \tag 5$$ con amplitud $\Delta_s$ , compensado $s_{env}$ y la anchura $\lambda$ . Todavía no se ha explicado teóricamente por qué tiene exactamente esta forma funcional, pero el hecho de que tenga un máximo en/cerca del centro tiene sentido porque la mayor parte del calentamiento diabático debido a la condensación se produce en la pared del ojo y la entropía está estrechamente relacionada con el calor (dado que la temperatura no cambia mucho).
(Nota: de hecho, la entropía tiene que ser monotónicamente decreciente con el radio, de lo contrario (13) del documento de Emanuels implica que el vórtice es " inercialmente inestable ").
Si se utiliza esta distribución gaussiana para resolver (13) del documento de Emanuel, se pueden derivar fórmulas para el perfil del viento, el momento angular y las distribuciones de presión (véase lo siguiente papel del que soy coautor :)). Si quieres puedes comprobar las matemáticas, es álgebra simple. En concreto la distribución de velocidad a altura fija que se obtiene es:
$$v(r) = \sqrt{2\Delta p \alpha}\sqrt{\frac{2\lambda^2}{r^2}\left(1-e^{-r^2/\left(2\lambda^2\right)}\right)-e^{-r^2/\left(2\lambda^2\right)}}-\frac{1}{2}fr^2,\tag 6$$
donde $\Delta p$ es el déficit de presión entre el entorno y el centro del ciclón y $\alpha$ es el volumen específico. En el artículo, mostramos que este perfil se ajusta bien a los perfiles de viento simulados mediante la resolución de las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes utilizando un superordenador.
La expansión de Taylor (6) para radios pequeños y utilizando que $f$ término mucho menor que $\frac{\sqrt{\Delta p \alpha}}{\lambda}$ para los valores típicos de los parámetros, da
$$v(r) = \left(\frac{\sqrt{\Delta p \alpha}}{\sqrt{2}\lambda}-\frac{1}{2}f\right) r + O(r^2) \approx \frac{\sqrt{\Delta p \alpha}}{\sqrt{2}\lambda}r,\tag 7$$ En efecto, se trata de un perfil lineal cuya pendiente se rige por factores termodinámicos: $dW \equiv\Delta p \alpha$ es el trabajo realizado por la parcela de aire al expandirse durante el flujo de entrada desde la presión ambiente a la presión central inferior. En el ámbito del modelo puede demostrarse que el radio de viento máximo depende (con buena aproximación) exclusivamente de $\lambda$ mientras que el valor del viento máximo se rige por $dW$ . Por lo tanto, es coherente que la pendiente de $v$ aumenta con el incremento de $dW$ por el hecho de ser fijo $\lambda$ . Sin embargo, la interpretación física del resultado no está clara para mí en este momento.
Espero que esto ayude, si tienes más preguntas, házmelo saber e intentaré mejorar mi respuesta.
Si alguien más tiene alguna idea sobre la vorticidad constante en el ojo del ciclón estaría muy interesado.
EDIT 1: Ondas de Rossby que se rompen fuera de la pared ocular
Olvidé mencionar en la respuesta anterior otro aspecto dinámico interesante que contribuye a la "nitidez" observada de la transición entre las regiones de la vorticidad constante (en el ojo) y la vorticidad variable en el exterior. El flujo medio de remolino en un ciclón tropical proporciona un perfil de vorticidad de fondo sobre el que se ha llamado " vórtice ondas de Rossby (VRWs)" pueden propagarse. Estos VRWs pueden alcanzar grandes amplitudes y "romperse" (el término tiene una definición específica en este contexto). Esta ruptura de los VRW es muy eficaz para vorticidad de mezcla (o más exactamente "vorticidad potencial (PV)"). Esto lleva a una inclinación del salto de vorticidad en la pared del ojo y a una homogeneización justo fuera de ella (en la llamada "zona de oleaje") porque una ruptura del VRW mezcla el aire de alto PV del interior del ojo con el aire de bajo PV del exterior.
EDIT 2: Paredes oculares concéntricas
Puede que te interese que el perfil de velocidad del principio de este post no esté siempre presente en TC. De hecho, existe un fenómeno llamado "eyewall concéntrico" o "eyewall secundario", en el que se produce un segundo máximo en el perfil del viento tangencial. Esto afecta enormemente a la estructura de la tormenta, tanto en su extensión horizontal como en su intensidad. Por ello, es importante reproducirlos correctamente en las simulaciones con superordenadores (por ejemplo, para hacer mejores previsiones). Esto es sólo para ilustrar que hay muchos fenómenos interesantes asociados a los CTs :).
EDIT 3: Inestabilidad barotrópica y mezcla de vorticidad potencial dentro del ojo
Una explicación dinámica de por qué la vorticidad es constante. Hace poco me enteré de que, desde un punto de vista dinámico, hay una respuesta a por qué la vorticidad en el ojo del TC es constante. La explicación es algo así: considera un perfil de velocidad no lineal cerca del origen, digamos $V\sim x^\alpha$ , $\alpha\neq 1$ .
Si $\alpha<1$ entonces la vorticidad es infinita en el origen, así que excluyamos este caso. Si $\alpha >1$ Entonces el perfil tendrá forma de "U", es decir, la vorticidad será menor en el centro del ojo, luego será grande en una región que se extiende hasta el radio del viento máximo, y será baja fuera del ojo. En otras palabras, hay un anillo de alta vorticidad, más que un disco.
Ahora bien, la constatación crítica, respaldada por experimentos numéricos, es que tal anillo de vorticidad es propenso a un proceso llamado inestabilidad barotrópica que da lugar a perturbaciones (VRWs) que crecen en amplitud sacando energía de una cizalla media. Estas perturbaciones crecientes alcanzan amplitudes finitas y rompen en el interior del ojo para mezclar la vorticidad (potencial), mezclándola y homogeneizándola. Véase la Fig. 3 en este documento de Schubert para ilustrar lo que quiero decir. Este artículo también es genial porque da una derivación de la configuración del vórtice de equilibrio un método de máxima entropía.
EDITAR 4: Encontré un papel de Glenn Shutts (ahora en MetOffice UK, escrito durante su estancia en el Imperial College) que explora la analogía bañera-huracán con mayor profundidad. Parece que no es muy conocido, pero es una lectura muy interesante.
