Determinante con polinomios

Question

Pregunta

En $\Bbb R _{n-2}[X]$ , dejemos que $f_1(x),\dots, f_n(x) \in \Bbb R _{n-2}[X]$ y que $a_1,\dots, a_n \in \Bbb R$

$$A=\begin{bmatrix} f_1(a_1) &f_1(a_2) & \dots & f_1(a_n) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\f_n(a_1) &f_n(a_2) & \dots & f_n(a_n)\end{bmatrix}$$

¿Qué es? $\det(A)$ ?

Pensamiento Afirmamos que es $0$ porque $n$ vectores en un $n-1$ espacio vectorial dimensional son linealmente dependientes. Y por lo tanto la matriz es singular. ¿Es esta una dirección verdadera? (Nunca he visto una pregunta así).

Answer 1

Tienes razón.

Tiene una dependencia lineal entre los $f_i$ como elementos en $\mathbb R_{n-2}[X]$ , es decir, números reales $c_i$ no todos cero tal que $\sum c_if_i$ es el polinomio cero. Entonces también $\sum c_if_i(a_j)=0$ para todos $j$ es decir, los vectores fila son linealmente dependientes como elementos de $\mathbb R^n$ Por lo tanto $\det A=0$ .