Dividiendo por el vector después de sacar factor común

Question

Si factorizo una matriz de una ecuación y luego me queda 0 en un lado, ¿puedo cancelar efectivamente el vector dividiendo ambos lados por él?

Un ejemplo trivial siendo $$ \begin{align} AB\hat{x} - AC &= 0 \implies\\ A(B\hat{x} - C) &= 0 \implies\\ B\hat{x} - C &= 0 \end{align} $$

mientras también considero obviamente que $A=0$ es una posibilidad o se ha asumido que no es $0$

Answer 1

La correcta analogía a la usual $xy=0$ implicando $x=0$ o $y=0$ sobre los números reales (o realmente cualquier dominio integral) utiliza la invertibilidad de las matrices cuadradas:

Cuando $A$ es una matriz cuadrada (real o compleja) y $x$ es un vector, la ecuación $Ax=0$ implica que $x=0$ o que $A$ no es invertible (lo cual permite más que solo $A=0$).

Así, la implicación $$Ax=0\ \Longrightarrow\ x=0$$ es solo verdadera cuando $A$ es una matriz invertible.

Answer 2

Dependiendo de las dimensiones de las diferentes cosas, que no defines pero imagino que $A,B,C$ sean matrices cuadradas o rectangulares y $X$ sea un vector columna, tu ecuación no tiene sentido ya que suma matrices de diferentes tamaños.

Incluso si la ecuación tuviera sentido, la respuesta sería no, ya que solo puedes simplificar $A$ si es invertible (por lo que en realidad estás multiplicando por $A^{-1}$). En general, con matrices puedes tener $AB=0$ con $A\neq 0$, $B\neq 0$.