Prueba de la fórmula de la secuencia

Question

Necesito ayuda para resolver el siguiente ejercicio:

La secuencia $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ viene dada por $$a_0 = a_1 = 1 \quad \text{and} \quad a_n=2a_{n-1}+4a_{n-2} \quad \forall n \geq 2$$ Prueba de la fórmula explícita $$a_n = \frac{1}{2}((1+\sqrt{5})^n + (1-\sqrt{5})^n) \quad \forall n\in \mathbb N$$

Creo que el camino a seguir es por inducción sobre n, sin embargo no sabía muy bien qué hacer después de enchufar todo. No pude conseguir $n+1$ en el exponente. ¿Pueden darme una pista?

Answer 1

Utilice un ansatz del tipo $a_n=A^n$ y lo introducimos en la ecuación para obtener $A^n=2A^{n-1}+4A^{n-2}$ o $A^2=2A+4$ . Ahora, resuelve para $A$ resolviendo la ecuación cuadrática para obtener las dos soluciones $A_{1,2}$ . La solución general viene dada por $a_n=\alpha A_1^n+\beta A_2^n$ . Determinar $\alpha$ y $\beta$ utilizando $a_0=a_1=1$ .

Answer 2

Una pista:

Tenga en cuenta que $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ satisface $\phi^2 = \phi + 1$ y así, multiplicando ambos lados por $\phi^{n-1}$ tiene la relación $$\phi^{n+1} = \phi^{n} + \phi^{n-1}$$ Ahora encuentre una expresión similar para $1 - \phi = -\frac{1}{\phi}$ y utilizar \begin{align*} a_{n+1} &= 2a_{n} + 4a_{n-1} \\ &= (1+\sqrt{5})^n + (1-\sqrt{5})^n + 2(1+\sqrt{5})^{n-1} + 2(1-\sqrt{5})^{n-1} \\ &= 2^n \left[ \phi^{n} + \phi^{n-1} + (1-\phi)^{n} + (1-\phi)^{n-1} \right] \end{align*}

Answer 3

El método presentado por MrYouMath se llama polinomio característico .

Otro método es el uso de funciones generadoras . Por ejemplo $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty } a_nx^n=a_0+a_1x+\sum_{n=2}^{\infty } (2a_{n-1}+4a_{n-2})x^n=$$ $$a_0+a_1x+\sum_{n=2}^{\infty } 2a_{n-1}x^n + \sum_{n=2}^{\infty } 4a_{n-2}x^n=$$ $$a_0+a_1x+2x\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}x^{n}+4x^2\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=$$ $$a_0+a_1x-2xa_0+2xf(x)+4x^2f(x)=1-x+2xf(x)+4x^2f(x)$$ o $$f(x)=\frac{x-1}{4x^2+2x-1}=\frac{x-1}{4\left(x+\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{5}}{4}\right)}=$$ $$\frac{1}{4(a-b)}\left( \frac{1-4b}{1-4xb} - \frac{1-4a}{1-4xa} \right)=\frac{1}{4(a-b)}\left( (1-4b)\sum_{n=0}^{\infty }4^nb^nx^n - (1-4a)\sum_{n=0}^{\infty }4^na^nx^n\right)$$ donde $a=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ y $b=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$ . Entonces $$a_n=\frac{1}{4(a-b)}\left((1-4b)4^nb^n -(1-4a)4^na^n \right)=$$ $$\frac{1}{2\sqrt{5}}\left( (1-1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})^n -(1 -1 -\sqrt{5})(1+\sqrt{5})^n \right)=\frac{1}{2}\left( (1+\sqrt{5})^n + (1-\sqrt{5})^n \right)$$

Aquí es otro ejemplo de la secuencia de Fibonacci.