Si $x$ y $y$ están en esta secuencia dada, puede $2^x+2^y+1$ ser primo?

Question

La secuencia:

$3, 11, 13, 17, 19, 29, 37, 41, 53, 59, 61, 67, 83, 97, 101, 107, 113, 131, 137, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 193, 197, 211, 227, 257, 269, 281, 293, 313, 317, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 443, 449, 461, 467, 491, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 577, 587, 593, 613, 617, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 821, 827, 829, 853, 857, 859, 877, 883, 907, 929$ ...

$n = 2^x + 2^y + 1$

$x,y$ en esta secuencia.

¿Hay algún caso que $n$ ¿es primo de esta secuencia?

Answer 1

Estos pares existen, y son precisamente las columnas de la siguiente matriz:

$$\left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 3 & 3 & 11 & 37 & 53 & 59 & 179 & 179 & 197 & 227 & 353 & 421 & 449 & 467 & 853 \\ 37 & 317 & 17 & 67 & 83 & 797 & 293 & 509 & 227 & 509 & 587 & 787 & 659 & 653 & 907 \\ \end{array} \right)$$

El primo mínimo obtenido de esta manera es, por inspección, $2^{11}+2^{17}+1=133121$ .

Editar: ¡Olvidé comprobar la diagonal! Eso añade el par único $(3,3)$ correspondiente a $$2^3+2^3+1=17.$$ Esto nos lleva a un total de $16$ soluciones.

Answer 2

El número entero $17$ es primo,

El número entero $3$ aparece en su secuencia,

También

$2^3+2^3+1=17$