Dada la distribución student-t: $$ T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{N}} $$ donde $S$ es la desviación estándar de la muestra, me pregunto si esta distribución está definida para $S=0.$ ¿Hay algo que se me escapa?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Michael Hardy
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Normalmente se tiene \begin{align} & X_1,\ldots,X_n \sim \text{i.i.d} \operatorname N(\mu,\sigma^2) \\[8pt] & \overline X = (X_1+\cdots+X_n)/n \sim \operatorname N(\mu,\tfrac{\sigma^2} n) \\[8pt] & S^2/\sigma^2 = \big( (X_1-\overline X)^2 + \cdots + (X_n-\overline X)^2\big) \sim \chi^2_{n-1} \\[8pt] & \frac{\overline X - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim \operatorname N(0,1) \\[8pt] & \frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt n} \sim t_{n-1} \end{align} En este escenario, la probabilidad de que $S=0$ es $0$ a menos que $\sigma=0,$ por lo que no es necesario tenerlo en cuenta.
Si se aplica esto a las muestras de una distribución discreta en lugar de a una distribución normal, entonces hay una probabilidad no nula de que $S^2=0.$
- ¿Es el valor de la variable aleatoria definida para $S=0$ ? No, a menos que uno tenga alguna razón para decir que es $\infty$ o algo así.
- ¿Es el distribución, definida en ese caso? Ciertamente, incluso en el caso de la distribución normal, no se definiría una distribución t para cualquier valor particular de $S$ A no ser que se hable de un condicional distribución dado un valor particular de $S.$ Está la cuestión de la distribución asintótica como $n\to\infty,$ y si la distribución de la población es continua, creo que eso se ha examinado en trabajos publicados. Sin embargo, no sé sobre el caso discreto.
