Toma una secuencia $f^{n}$ sur $C^{2}([0,1])$ el espacio de las funciones dos veces continuamente diferenciables, tal que
- $f^{n} \rightarrow f$ sur $L^{p}([0,1])$ (el espacio de Lebesgue) para un $f \in L^{p}([0,1])$
- $\sup_{n \in \mathbb N} |f^{n}|_{\infty}+|\partial_{x}f^{n}|_{\infty}+|\partial^{2}_{xx}f^{n}|_{\infty} < \infty$
Entonces sabemos que $\{ f^{n} \}_{n}$ y $\{ \partial f^{n} \}_{n}$ son equicontinuos. Por lo tanto, por Aszela-Ascoli, una subsecuencia converge en $C^{1}$ y por lo tanto $f \in C^{1}$ .
Pregunta
¿La secuencia $f^{n}$ también convergen en $C^{1}$ a $f$ ?
