Variación cuadrática de la suma de martingalas locales

Question

Tengo una pregunta sobre el cálculo de covarianzas de martingalas locales. Supongamos que $M_1$ y $M_2$ son martingalas locales. Poner $M = M_1+M_2$ . ¿Existe una forma agradable de calcular $[M]$ en términos de $[M_1]$ y $[M_2]$ ?

Siento que si $B_1$ y $B_2$ son movimientos brownianos independientes, y $M_1 = \int f(B_1(s),B_2(s),s) \, dB_1(s)$ y $M_2 = \int g(B_1(s),B_2(s),s) \, dB_2(s)$ entonces $[M] = \int f^2 + g^2 \, dt$ .

Answer 1

Para responder a esta pregunta hay que entender la covariación de $M_1$ y $M_2$ (véase la página 44 de estas notas ). Denotamos la covariación de martingalas locales continuas $L$ y $N$ por $[L,N]$ y, en condiciones adecuadas, tenemos

$$[L,N]_t = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{\lfloor 2^nt\rfloor}(L_{(k+1)2^{-n}}-L_{k2^{-n}})(N_{(k+1)2^{-n}}-N_{k2^{-n}})$$

Así que, en particular, $[M]_t=[M,M]_t$ . La covarianza de los procesos se comporta de forma muy parecida a la covarianza de las variables aleatorias. Por ejemplo:

• $[M_1]_t\geq 0$ pero $[M_1,M_2]_t$ puede ser negativo.
• Si $M_1$ y $M_2$ son independientes, entonces $[M_1,M_2]_t=0$ pero lo contrario no tiene por qué ser así.
• $[,]$ es bilineal. Así que $[M]=[M_1]+[M_2]+2[M_1,M_2]$ . Así que necesitamos saber $[M_1,M_2]$ además de $[M_1]$ y $[M_2]$ para determinar $[M]$ .