Problema del límite de una secuencia de funciones

Question

Calcular el límite $f(x)$ de una secuencia de funciones $(f_x(x))_{n=1}^{\infty }$ . Sabemos que $f_n(x)=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}$ .

Mi solución:

$$f(x)=\lim_{n\to\infty }\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}$$

para $x<1$ es $x^{2n}=0$ donc

$$f(x)=\lim_{n\to\infty }\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}=0$$

para $x>1$ es $x^{2n}= \infty$ donc

$$f(x)=\lim_{n\to\infty }\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2n}}}=1$$

para $x=1$ Realmente no lo sé, ayuda por favor. He intentado utilizar la regla de L'hospital (Derivada según $n$ ) y recibí una locura

$$f(x)=\lim_{n\to\infty } \frac{0}{-2x^{-2n}ln(x)}$$

El problema es que para $x=1$ tiene $x^{2n}=x^\infty=indeterminate$

Answer 1

Para $x=1$ , $f_n(x) = \frac{1}{2}\;\forall n$ . Si se quiere calcular la convergencia puntual de $f_{n}(x)$ entonces ha terminado (al menos para los positivos $x$ aunque las x negativas son triviales).

Sin embargo, la convergencia uniforme puede ser un poco más complicada, pero mi opinión es que si se hace algo como $f_{n}(1+1/(2n))$ o algo similar verás que siempre estás demasiado lejos de 1 y por tanto no consigues una convergencia uniforme.

Answer 2

$$f_n(x)=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}$$

$$x=0$$ $$f_n(0)\rightarrow 0\quad\forall n$$

$$x=1$$

$$f_n(1)\rightarrow \frac{1}{2}\quad\forall n$$

$$x=-1$$

$$f_n(-1)\rightarrow \frac{1}{2}\quad\forall n$$

$$|x|> 1$$

$$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{x^(2n)}+1}=1$$

$$Thus,$$

$$f_n(x)\rightarrow f(x) =\begin{cases}0 &if& x = 0\\\frac{1}{2} & if&|x| = 1\\1&if&|x|>1\end{cases}$$

$$f_n\rightarrow f\neq 0\quad so\,not\,uniform\,convergent$$