$\frac{dx}{dt} = |x|^{1/2}$

Question

Busco encontrar 4 soluciones a la EDO:

$\frac{dx}{dt} = |x|^{1/2} , x(0)=0$ .

Claramente, $x=0$ es una solución. Utilizando la separación de variables para $x>0$ rinde $x= t^2/4$ como otra solución, y si consideramos $x<0$ Me parece que $x = -t^2/4$ . ¿Podría alguien dar una pista de dónde me falta la última solución?

Gracias.

Answer 1

Afirmo que una solución (la solución "básica") es

$$x = \begin{cases} t^2/4 &: t>0 \\ 0&: t \leq 0 \end{cases}$$

Comprueba que esto no sólo satisface la ED y el CI, sino que es continuo en todas partes, con una derivada continua . (sólo hay que comprobar la continuidad y la diferenciabilidad en $x=0$ ya que, obviamente, es suave en todas las demás partes).

Ahora piensa en lo que ocurre si trasladas esta función a la derecha.

EDIT pensamientos adicionales

Otra forma de hacerlo que evita la traducción sería mostrar que se puede tomar $x$ para ser $t^2/4$ ou $0$ en $[0,\infty)$ y $-t^2/4$ ou $0$ en $(-\infty,0)$ y que no importa cuál de estas cuatro opciones se elija, el resultado satisface la DE, IC, y es continuo c/derivada continua.

Es decir $$x = \begin{cases} t^2/4 &: t>0 \\ -t^2/4 &: t \leq 0 \end{cases}$$

$$x = \begin{cases} t^2/4 &: t>0 \\ 0 &: t \leq 0 \end{cases}$$ etc. son todas soluciones.