Resolver la relación de recurrencia lineal homogénea con coeficientes constantes

Question

$$9a_{n} = 6a_{n-1}-a_{n-2}, a_{0}=6, a_{1}=5$$

Así que

$$x^n = (6x^{n-1}-x^{n-2})\div9$$

así

$$[x^2 = (6x-1)\div9] \equiv [x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0], x=\frac{1}{3}$$

también

$$a_{2}=\frac{8}{3}, a_{3}=\frac{31}{27}$$

¿Cómo introduzco esa x/raíz para resolver la relación de recurrencia dada?

He intentado

$$9a_{n} = 6(\frac{1}{3})^{n-1} - (\frac{1}{3})^{n-2}$$

que para n=1 da 5... que es correcto, para a_1 sin embargo, no 9a_1? Así que eso no es correcto.

Answer 1

Desde $a_n=c\left(\frac{1}{3}\right)^n+dn\left(\frac{1}{3}\right)^n$ , $a_0=2\implies c=6$ y $a_1=5\implies d=9$ Así que

$\displaystyle a_n=\frac{6}{3^n}+\frac{9n}{3^n}=\frac{2+3n}{3^{n-1}}$

Answer 2

Estos son los pasos $$ a_{0}=6 $$ $$ a_{1}=5 $$ $$ 9a_{n} = 6a_{n-1}-a_{n-2} $$ Reescribamos esta recurrencia como $$ a_{n} = \frac69a_{n-1}-\frac19a_{n-2} $$ $$ a_{n} = \frac23a_{n-1}-\frac1{3^2}a_{n-2} $$ Ahora vamos a multiplicar por $3^n$ $$ 3^0a_{0}=3^06=6 $$ $$ 3^1a_{1}=3^15=15 $$ $$ 3^na_{n} = 2\cdot 3^{n-1}a_{n-1}-3^{n-2}a_{n-2} $$ Dejemos que $S_n=3^na_n$ entonces $$ S_0=6 $$ $$ S_{1}=15 $$ $$ S_n= 2S_{n-1}-S_{n-2} $$ De ello se desprende que $$ S_n= S_1n-S_0(n-1)=9n+6=3(3n+2) $$ Por lo tanto,

$$ a_n=\frac{3(3n+2)}{3^n}=3^{1-n}(3n+2) $$