(1) es verdadera si $char(k)=0$ . Esto se deduce de una combinación de resultados. En primer lugar, es cierto sobre cualquier campo que el espectro $MGL$ es conectivo, lo que significa que
$$MGL^{p,q}(X)=0$$
si $p>q+dim(X)$ , $X\in Sm/k$ [1, Cor. 2.9]. (Un poco más es cierto: para cualquier $p\geq q+dim(X)$ el mapa de orientación $MGL\to H\mathbb{Z}$ induce un isomorfismo $MGL^{p,q}(X)\cong H\mathbb Z^{p,q}(X)$ (1, Lem 6.4).
En segundo lugar, tenemos la equivalencia Hopkins-Morel [1, Thm. 6.11]
$$MGL/(x_1,x_2,\dots) \simeq H\mathbb Z.$$
Asumiendo esto, Spitzweck ha demostrado en [2] que los cortes de MGL están dados por
$$s_rMGL\simeq \Sigma^{2r,r}H(MU_{2r}),$$
Además, ofrece una descripción explícita de la $r$ -cubierta eficaz $f_rMGL$ como un colímite homotópico de los espectros de la forma $\Sigma^{2i,i}MGL$ para $i\geq r$ lo que demuestra que $f_rMGL$ también es $r$ -(siendo un colímite homotópico de $r$ -espectro conectivo). Dado que la homotopía $t$ -es completa a la derecha [1, Cor. 1.4], esto implica que
$$\mathrm{holim}_{r\to\infty}f_rMGL=0.$$
Ahora, dejemos que $E=\Sigma^{-p,-q}\Sigma^\infty X_+$ con $p>2q$ . Tome cualquier mapa $E\to MGL$ . Desde $H^{p+2r,q+r}(X,A)=0$ para cualquier grupo abeliano $A$ y $r\in\mathbb Z$ este mapa se eleva a través de todas las etapas de la filtración de la rebanada, por lo tanto viene de un mapa $E\to \mathrm{holim}_{r\to\infty}f_rMGL=0$ . QED.
(Por cierto, esto demuestra que existe una secuencia espectral fuertemente convergente $H^{\ast\ast}(X,MU_{2\ast})\Rightarrow MGL^{\ast\ast}(X)$ .)
Si $char(k)>0$ ( $k$ no tiene por qué ser perfecta), también se conoce la equivalencia Hopkins-Morel si $char(k)$ está invertido [1], por lo que al menos podemos deducir que $MGL^{p,q}(X)$ es $char(k)$ -torsión para todos $p>2q$ , $X\in Sm/k$ (y es cero si $p>q+dim(X)$ por conectividad, por lo que para las $X$ y $q$ a lo sumo un número finito de estos grupos puede ser distinto de cero).
Algunos comentarios sobre (2): si se repasa la prueba del caso de la característica cero en [3] y se intenta utilizar el teorema de Gabber en lugar de la resolución de singularidades, en algún momento de la prueba se sustituye un isomorfismo por un mapa de solapa finita $f: Y\to X$ de grado primo a un primo dado $l\neq p$ y la prueba funcionará si ese mapa tiene una sección. Incluso si se trabaja $\mathbb Z_{(l)}$ -Localmente, todavía se necesita un mapa $g: X\to Y$ tal que $fg=deg(f)\cdot\mathrm{id}$ y no veo por qué tendrías ese mapa en $SH\otimes\mathbb Z_{(l)}$ . Pero para $MGL_{(l)}$ -módulos supongo que el mapa de Gysin [4] debería funcionar.
[1] M. Hoyois, From algebraic cobordism to motivic cohomology ( pdf )
[2] M. Spitzweck, Relaciones entre cortes y cocientes del espectro de cobordismo algebraico ( pdf )
[3] O. Röndigs, P. Østvær, Módulos sobre cohomología motivacional ( pdf )
[4] F. Déglise, En torno al triángulo de Gysin II ( pdf )
