Para un $n$ -de Lie, ¿hay siempre una representación matricial $\{M\}$ y un único vector $v$ tal que $\{Mv\}$ es $n$ -¿dimensional?

Question

Para un $n$ -álgebra de Lie de dimensión variable $L$ ¿existe siempre una representación matricial $\rho:L\to\mathfrak{gl}(V)$ y un único vector $v\in V$ tal que $\{\rho(x)v\mid x\in L\}$ es un $n$ -subespacio dimensional de $V$ ?

Esto sería necesariamente una representación fiel.

Me estoy centrando en las álgebras de Lie sobre $\mathbb R$ pero las respuestas más generales son bienvenidas.

Esto podría tener algo que ver con pesos o El lema de Whitehead pero no sé lo suficiente sobre la teoría de la representación para estar seguro.

Answer 1

Sí, como corolario del teorema de Ado.

En primer lugar, observe que para un determinado $v$ el mapa $L_{\rho,v}:x\mapsto\rho(x)v$ es lineal. El objetivo es demostrar que existe $(\rho,v)$ para el que este mapa es inyectivo. En efecto, elija $(\rho,v)$ para el que este mapa tiene núcleo $K(\rho,v)$ de dimensión mínima.

Supongamos por contradicción que existe un $x$ en $K(\rho,v)$ . Sea $\rho'$ sea una representación fiel de dimensión finita (como asegura el teorema de Ado). Entonces existe $v'$ en el espacio de $\rho'$ tal que $\rho'(x)v'\neq 0$ . Por lo tanto, $(\rho\oplus\rho',v\oplus v')$ contradice la minimidad.

El argumento, convenientemente reformulado, muestra que $n$ siendo la dimensión de $\mathfrak{g}$ entonces $\rho^{\oplus n}$ posee un vector con la propiedad requerida para cualquier representación fiel $\rho$ . Obsérvese también que la prueba es completamente autocontenida (es decir, no utiliza el teorema de Ado) si suponemos de antemano que $\mathfrak{g}$ tiene una representación lineal fiel, que por ejemplo es un hecho trivial cuando tiene un centro trivial.