Si se localiza el anillo de $\mathcal{C}^\infty$ funciones en $\mathbb{R}$ en el ideal máximo de los que desaparecen en el origen, se obtiene el anillo de gérmenes de $\mathcal{C}^{\infty}$ funciones. ¿Funciona lo mismo si se sustituye $\mathcal{C}^{\infty}$ por "analítico"? Es decir, si se localiza el anillo de series de potencias de radio infinito en el ideal máximo de las que desaparecen en el origen, ¿se obtiene el anillo de series de potencias de radio positivo? Creo que se obtiene sólo un subconjunto propio, pero cualquier confirmación por vuestra parte me ayudaría a dormir mejor.
Respuesta
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Lamentablemente, no. A grandes rasgos, la razón es que las funciones analíticas son muy rígidas: si dos funciones analíticas están definidas en algún dominio conexo y coinciden en alguna vecindad de un punto, entonces son iguales en todas partes. Dicho de otro modo, cada germen está determinado como máximo por una función y, por tanto, no distinguiremos entre funciones analíticas y sus gérmenes. Esto contrasta fuertemente con las funciones suaves, en las que, gracias a las funciones de protuberancia y a las particiones de la unidad, si una función suave está definida en $\overline{U}$ para algún conjunto abierto $U$ entonces $f$ puede extenderse a todos los $\mathbb{R}^n$ incluso cuando $U$ no está conectado.
Además, el comportamiento local de una función analítica en un punto es agradable: si $f(z)$ es analítica, podemos localmente (cerca de $0$ ) escríbalo como $z^m g(z)$ , donde $g(0)\neq 0$ y $g$ es analítico. Si $f$ y $g$ son analíticos con $g$ no evanescente (en algún conjunto abierto), entonces $f/g$ también es analítica. Combinando estas dos observaciones, vemos que el cociente de dos funciones enteras es, en el peor de los casos, meromorfo, no requiriendo puntos de bifurcación ni cortes de bifurcación para su definición.
Así, la localización de las funciones analíticas en $0$ es un subconjunto de la restricción de funciones meromorfas "enteras".
¿Qué tipo de cosas debemos estar pasando por alto?
- Las funciones multivaluadas, como $\log (1+z)$ o $\sqrt{1+z}$
- Las restricciones de las funciones que contienen singularidades distintas de los polos. Como mencionó Jiangwei, no tendremos la restricción de $e^{1/(z-1)}$ ya que tiene una singularidad esencial en $1$
- Posiblemente más (toda función meromorfa es localmente el cociente de dos funciones analíticas, pero ¿es esto cierto globalmente?)
Por eso es necesario utilizar gavillas cuando se trata de superficies de Riemann (o más generalmente, cuando se trata de variedades). Las funciones locales no están en absoluto determinadas por las funciones globales, por lo que realmente necesitamos almacenar la información local como datos adicionales. Para poner un ejemplo extremo, no hay funciones no constantes definidas globalmente en el espacio proyectivo.
Modifier Me acabo de dar cuenta de que has hecho tu pregunta para las funciones en $\mathbb{R}$ no $\mathbb{C}$ . Sin embargo, dado que las funciones analíticas reales se extienden a funciones analíticas complejas en una vecindad de la recta real, básicamente todo lo escrito anteriormente sigue siendo válido. En particular, los ejemplos siguen funcionando.
