Torus, colectores

Question

Tengo algunos problemas con las siguientes preguntas:

$\mathbb{R}^3$ tiene coordenadas estándar $(x, y, z)$ . Regard en el plano $x=0$ el círculo con centro $(x,y,z) = (0,0,b)$ y el radio $a$ , $0<a<b$ . El área que surge cuando se gira el círculo alrededor del eje y se llama T.

1A. Da la ecuación de T y demuestra que es un colector de dimensión 2.

Pensé lo siguiente:

$$T= \int_{C} \pi (f(y))^2 dy $$ donde C es el círculo descrito anteriormente y $f(y)= \sqrt(a-y^2+2zb-b^2)$ Pero ahora no sé cómo continuar, porque realmente no tengo límites.

B. Mirar ahora $\mathbb{S}^1 \subseteq \mathbb{R}^2$ . Escribe para el 2-Toro estándar $\mathbb{T}^2= \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$ entonces $\mathbb{T}^2 \subseteq \mathbb{R}^4$ es una variedad bidimensional. Demostrar que $\mathbb{T}^2$ y $T$ son difeomorfos.

Answer 1

A) Intenta $T=\lbrace (\sqrt{y^2+z^2} - b)^2 + z^2 = a, (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \rbrace$ creo que te da la parametrización necesaria de tu toroide, incrustado en el espacio euclidiano de 3 dimensiones.

Es un colector 2 porque son los ceros de la inmersión $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, (x,y,z) \mapsto (\sqrt{y^2+z^2} - b)^2 + z^2 - a$ (puedes comprobarlo fácilmente).

b) Para demostrar que es difeomorfo al producto de dos círculos, necesitas dar primero una parametrización bidimensional de T:

$\phi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, (\theta, \psi) \mapsto \left( \matrix { \cos 2\pi \theta&0&-\sin 2\pi \theta \\ 0&1&0 \\ \sin 2\pi \theta&0&\cos 2\pi \theta } \right)\left( \matrix { 0 \\ \sqrt{a} \cos 2\pi\psi \\ b+\sqrt{a} \sin 2\pi \psi } \right) $

Obsérvese que el vectr de la derecha define sólo su círculo C, cuando la matriz le da la rotación alrededor del eje y.

Entonces tienes que demostrar que

_este mapa es suave

Es $\mathbb{Z}^2$ periódico, por lo que induce un mapa $(\mathbb{R/Z})^2 \to \mathbb{R}^3$

_¡este nuevo mapa es el difeomorfismo que necesitas!!