Evaluar $\cos 18^\circ$ sin usar la calculadora

Question

Sólo sé $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$, y $360^\circ$ como estándar de ángulos pero cómo puedo demostrar que $$\cos 18^\circ=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$ $

Answer 1

Que $\theta = 18^\circ$.

$2\theta = 36^\circ$ Y $3\theta = 54^\circ$.

Tenga en cuenta que $90^\circ-3\theta = 2\theta$.

Así, $\sin(90^\circ - 3\theta) = \sin (2\theta)$ o $\cos(3\theta) = \sin(2\theta)$

So, $4\cos^3\theta-3\cos\theta = 2\sin\theta\cos\theta$.

$\cos \theta$ No puede ser cero, podemos dividir por él para obtener,

$4\cos^2\theta-3 = 2\sin\theta$

Ahora utilice $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ para obtener una cuadrática en $\sin \theta$.

Resolverlo y entonces haciendo caso omiso de la raíz negativa (puesto que $\sin 18^\circ$ no puede ser negativo), resolver $\cos 18^\circ$.

Answer 2

Considere el triángulo isósceles ilustrado a continuación:

Considerando triángulos similares, uno tiene ${x\over 1}={1\over x-1}$. De esto, sigue que $x={1+\sqrt 5\over 2}$. Caer un perpendicular desde el vértice superior a la base de abajo. Uno ve que $\sin(18^\circ)={1\over 1+\sqrt 5}={\sqrt 5-1\over 4}$. Ahora use la identidad pitagórica para encontrar $\cos(18^\circ)$.