Para la demostración del Teorema de Incompletitud de Gödel, la mayoría de las versiones de demostración utilizan básicamente enunciados autorreferenciales.
Mi pregunta es, ¿qué pasa si uno argumenta que el Teorema de Incompletitud de Gödel sólo importa cuando una fórmula hace posible la autorreferencia?
¿Existe alguna prueba del Teorema de Incompletitud que no se base en afirmaciones autorreferenciales?
A grandes rasgos, el real teorema es que la capacidad de expresar la teoría de la aritmética de números enteros implica la capacidad de expresar la lógica formal.
El teorema de incompletitud de Gödel es en realidad un corolario de esto: una vez que se ha demostrado el resultado técnico, es sencillo utilizarlo para construir variaciones de la paradoja del mentiroso y ver lo que implican.
En sentido estricto, todavía no se pueden crear enunciados autorreferenciales: el enunciado autorreferencial (interno) sólo puede interpretarse como tal invocando la correspondencia entre la lógica externa (el lenguaje en el que expresas tu teoría) y la lógica interna (el lenguaje que expresa tu teoría).
Hay una prueba bastante bonita de una versión estándar del Primer Teorema de Gödel por Kleene, que lo extrae como corolario de su Teorema de la Forma Normal (de Kleene). La prueba implica la diagonalización, pero no la autorreferencia. Hay una exposición de dos páginas aquí: http://www.logicmatters.net/resources/pdfs/KleeneProof.pdf
Hay otras dos pruebas elementales que no implican autorreferencia, cuyas conclusiones son algo menos que el resultado gödeliano completo, en los capítulos 6 y 7 de la segunda edición de mi libro de Gödel.
De nuevo, ambos argumentos implican la diagonalización. Es la diagonalización y no la autorreferencia lo que podría decirse razonablemente que es característico de las pruebas de incompletitud típicas (aunque no de todas).
Una respuesta de bajo nivel.
El propio enunciado indecidible de Gödel (ahora se sabe por Julia Robinson, etc.) puede ser de la forma "He aquí una ecuación polinómica en muchas variables con coeficientes enteros. ¿Tiene solución en enteros positivos?" No hay nada de autorreferencial en eso. Pero conseguimos esa ecuación codificando en el polinomio algo que Sarah considera autorreferente.
Existe una versión más débil del primer teorema de incompletitud que es una consecuencia casi trivial de una idea de la teoría de la computabilidad, concretamente del resultado de que
there exists a computably enumerable set that is not computable (*). Consecuencia: el conjunto de oraciones verdaderas de primer orden (es decir, verdaderas sobre la secuencia de números naturales "reales") no es axiomatizable por un conjunto de axiomas c.e.
Por desgracia, la mayoría de las pruebas de ( $*$ ) tienen ellos mismos un aroma de autorreferencialidad a su alrededor. Sin embargo, es posible que quieras consultar los "conjuntos simples". Los conjuntos simples son c.e. y no recursivos, y la prueba estándar de libro de texto de su existencia es, hasta donde yo sé, el argumento que más se acerca a un argumento no autorreferencial para ( $*$ ).
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