Tiempos máximos y mínimos de parada

Question

Aquí se demuestra que el mínimo de dos tiempos de parada es un tiempo de parada. Para ello se dice $\{\min(\sigma,\tau)\leq n\}=\{\sigma\leq n\}\cup \{\tau \leq n\}$ donde $\sigma,\tau$ son tiempos de parada. Entiendo su argumento de por qué $\{\sigma\leq n\}\cup \{\tau \leq n\}$ pertenece a la $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{F}_n$ . Pero, ¿por qué es cierto que $\{\min(\sigma,\tau)\leq n\}=\{\sigma\leq n\}\cup \{\tau \leq n\}$ o para el caso $\{\max(\sigma,\tau)\leq n\}=\{\sigma\leq n\}\cap \{\tau \leq n\}$ ? Yo pensaría lo contrario, es decir, $\min$ es con $\cap$ y $\max$ es $\cup$ .

Creo que no veo la lógica o la intuición detrás de eso. ¡Agradecería cualquier ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\min(x,y) \leq n \iff x \leq n \quad \text{or} \quad y \leq n.\tag{1}$$ Aplicando esto para $x=\sigma(\omega)$ y $y = \tau(\omega)$ prueba \begin{align*} \{\min(\sigma,\tau) \leq n\} &= \{\omega \in \Omega; \min(\sigma(\omega),\tau(\omega)) \leq n\} \\ &\stackrel{(1)}{=} \{\omega \in \Omega; \sigma(\omega) \leq n \, \, \text{or} \, \, \tau(\omega) \leq n\} \\ &= \{\sigma \leq n\} \cup \{\tau \leq n\}.\end{align*} El razonamiento para $\max$ es similar; utilice ese $$\max(x,y) \leq n \iff x \leq n \quad \text{and} \quad y \leq n.$$