¿Cómo puede una función tener una tangente vertical y ser continua?

Question

Leí en algún sitio que "una función con tangente vertical puede ser continua pero no diferenciable".

¿Es esto correcto y, si es así, cuál es un ejemplo de ello?

No se me ocurre cómo una función con asíntota puede ser continua.

Answer 1

Añadiendo un gráfico al comentario de yoyo:

$\sqrt[3]{x}$ es continua, pero su derivada, $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ , tiende a $\infty$ cerca de $0$ .

Answer 2

Como se ha descrito anteriormente, $f(x) = x^{1/3}$ es continua en $0$ y tiene una tangente vertical en $0$ .

Para comprender mejor este ejemplo, puede ser útil recordar la definición épsilon-delta de "continuo en $0$ ".

Parafraseado libremente, " $f$ es continua en $0$ "significa que para cada $\epsilon>0$ podemos encontrar $\delta>0$ de manera que las entradas dentro de $\delta$ de $0$ forzará las salidas a estar dentro de $\epsilon$ de $0$ .

En el ejemplo de $f(x)=x^{1/3}$ en $x=0$ es cierto que para cada $\epsilon$ existe un $\delta$ . Por ejemplo, si $\epsilon = 0.01$ podemos elegir $\delta = 0.000001$ . Se pueden hacer afirmaciones similares para cualquier $\epsilon>0$ .

Lo único que importa es que podamos encontrar un $\delta$ por cada $\epsilon$ . Pero $\delta$ puede ser mucho menor que $\epsilon$ . Puede ocurrir que $\delta$ no es una función lineal de $\epsilon$ sino que se acerca a $0$ mucho más "rápido" que $\epsilon$ lo hace.

Answer 3

La idea es que, aunque la pendiente sea vertical, puedes acercarte a tu punto si te acercas lo suficiente; el hecho de que la pendiente sea vertical no significa que tu función vaya al infinito. Entre los ejemplos conocidos, $f(x) = \alpha x^{1/n}$ con $n \ge 1$ .

Espero que eso ayude,