¿Por qué se forman 8 imágenes para un objeto mantenido simétricamente entre dos espejos con un ángulo de 50°?

Question

Consideremos dos espejos $M_1$ y $M_2$ guardado en $50^\circ$ entre sí.

Un objeto $O$ se mantiene simétricamente entre los espejos haciendo ángulos $25^\circ$ con cada uno.

Ahora el número de imágenes viene dado por la fórmula:

$$n = \frac{360}{\theta},$$

donde es $n$ es impar. El número de imágenes es $n$ para un objeto colocado asimétricamente y $n-1$ para un objeto colocado simétricamente.

Si $n$ es par, el número de imágenes es $n-1$ para todas las posiciones del objeto.

Aplicando la fórmula a este caso obtenemos

$$n=\frac{360^\circ}{50^\circ} = 7.2,$$

ignorando la parte decimal. Como el objeto está colocado simétricamente, el número de imágenes se convierte en $n-1 = 6$ .

Pero el diagrama de rayos que he dibujado muestra lo contrario.

Aquí se forman 8 imágenes. Entonces, ¿cuál debo seguir, el diagrama de rayos o la fórmula?

Answer 1

La fórmula

$n = \frac{360}{\theta}$

tiene en un lado un número entero y en el otro una variable continua. Esto debería hacernos reflexionar. Para que sea correcto, podemos restringir $\theta$ precisamente a los valores que dan la integral $360/\theta$ o modificar la fórmula.

Así, para $50^\circ$ la fórmula no es válida. Truncar el decimal no es algo que la fórmula pueda hacer y por tanto no se puede esperar que dé una respuesta correcta.

De todos modos, para el simétrico caso, la fórmula general sería

$n=2\left\lfloor m\right\rfloor+ \lceil\{m\}\rceil(1+\lceil\{m-1/2\}\rceil)$

donde
$m=\frac{\pi-\phi}{2\phi}$
$\theta=2\phi$

y {} denota la parte fraccionaria.

Esto, de hecho, da $n(25^\circ)=8$ .

Para $\theta=\frac{2 \pi}{k}$ , $k$ integrador,

$n\left(\frac{2 \pi}{k}\right)=k-1$ como se esperaba

La extensión de las variables continuas a los casos discretos puede ser a veces complicada.

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El primer término de la fórmula es sólo los reflejos ordinarios "por encima del espejo". El $\lceil\{m\}\rceil$ es terminar la fórmula en caso de que el reflejo caiga sobre los espejos. El " $(1...$ " es para esos dos últimos reflejos justo debajo de los espejos. El último factor $\lceil\{m-1/2\}\rceil$ , corrige por $\theta=\frac\pi2,\frac\pi3,\frac\pi4,\frac\pi5,...$ cuando esas dos últimas reflexiones coinciden.

$\lceil\{x\}\rceil$ = $0$ para $x$ número entero positivo, $0$ De lo contrario,