Editar: El $F$ son números de Fibonacci.
Necesito una idea sobre cómo mostrar lo siguiente:
Si $m$ y $n$ son enteros positivos, entonces $(F_m,F_n)=F_{(m,n)}$ .
Creo que utilizando el hecho de que $F_{m+n}=F_mF_{n+1}+F_nF_{m-1}$ podría ser útil. Además, el algoritmo de Euclides también puede ser necesario. Pero no estoy seguro, ya que puede haber mejores métodos para conseguirlo.
Gracias de antemano.
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¿Qué es el $f_m$ , $f_n$ ?
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¿Por qué no nos dice cuáles son al principio?
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Pista. $F_{kn}$ es divisible por $F_n$
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Lo más probable es que se trate de un duplicado, aunque ahora mismo no encuentro el enlace.
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He aquí una respuesta: math.stackexchange.com/questions/60340/
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Hay un paso en el que afirma que $(f_{n-m},f_m)=f_{(n-m,m)}$ . ¿Es algo conocido?
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Esto se menciona en Artículo de Wikipedia El artículo de Wikipedia tiene dos referencias: este enlace y este libro: Paulo Ribenboim, Mis números, mis amigos, Springer-Verlag 2000, p.9 .
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Josué: La prueba es inducción sobre $n+m$ , por lo que es una hipótesis inductiva que puede asumir.
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@Josué sdcvvc es correcto. La inducción es sobre la suma de los índices. Así $\rm\:(f_{n-m},f_m)=f_{\:(n-m,m)}\:$ se sigue por inducción, ya que tiene menor suma de índices $\rm\:(n-m)+m\: <\: n+m,\:$ por $\rm\:m>0,\:$ por hipótesis. Acabo de editar el post para que se vea mejor en la última versión de MathJax.
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Ahora lo entiendo. :) Gracias, chicos.