En general, la interacción de los estados de magnetización del protón con los átomos vecinos permite transiciones de estados. Si podemos considerarlos como pequeñas perturbaciones, entonces en términos de la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo se da la tasa de probabilidad de transición del estado i al f, \begin{equation} W_{fi} = \frac{2\pi}{\hbar} |<f|V|i>|^{2} \delta(E_{f}-E_{i}) \end{equation} Para conservar la energía si la transición de $m=-1/2$ a $m=+1/2$ sucede, debe ser seguido por otro protón de $m=+1/2$ a $m=-1/2$ . A continuación, tome dos estados cualesquiera $a,b$ con el estado b tiene mayor energía. Denotemos una transición energética ascendente por $a-$ $\rightarrow$ $b+$ y la transición a la baja por $b+$ $\rightarrow$ $a-$ .
Si $N_{+}$ es el número inicial de giros con $m=+1/2$ entonces,
\begin{equation} \frac{dN_{+}}{dt} = W_{b+a-}N_{-}n_{a}-W_{a-b+}N_{+}n_{b} \end{equation}
donde $n_{b}$ es el número inicial de estados con mayor energía y $n_{a}$ energía más baja, relacionada con el factor de Boltzmann,
\begin{equation} \frac{n_{a}}{n_{a}} = e^{-\hbar B_{0} \gamma /kT} \end{equation}
Para nuestro caso las transiciones de probabilidad son iguales, lo que ocurre en $1^{st}$ o la teoría de la perturbación,
\begin{equation} W_{b+a-} = W_{a-b+} = W \end{equation}
El número total de estados es fijo, \begin{equation} N = N_{+}+N_{-} \end{equation} y la escritura, \begin{equation} N_{\pm} = \frac{N \pm \Delta N}{2} \end{equation} Ahora combinando las ecuaciones anteriores, \begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = WN(n_{a}-n_{b})-W\Delta N(n_{a}-n_{b}) \end{equation} Queremos que en el equilibrio \begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = 0 \end{equation} Pero esto implica \begin{equation} \Delta N_{0} = \frac{n_{a}-n_{b}}{n_{a}+n_{b}}N \end{equation} Definir $W(n_{a}+n_{b})$ como $\frac{1}{T_{1}}$ constante de tiempo de relajación longitidunal, entonces obtenemos
\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = \frac{\Delta N_{0} -\Delta N}{T_{1}} \end{equation}
Por último, tome la media sobre el volumen y obtendrá algo similar a
\begin{equation} \frac{d M_{z}}{dt} = \frac{M_{0}-M_{z}}{T_{1}} \end{equation} que es la ecuación de relajación de la componente longitudinal del espín.