¿Cómo explicar la relajación del espín en la RMN/RMN en términos de mecánica cuántica?

Question

He observado dos enfoques para la explicación de la RMN/RMN. El más popular clásico explota la noción de vector de magnetización y precesión de Larmor. Todo se describe entonces como oscilaciones de este vector respecto a la dirección del campo estático. En quantum hay estados de energía que se dividen debido al efecto Zeeman. Los fotones del campo de radiofrecuencia hacen que los protones salten entre estos estados, y medimos cómo se pueblan estos estados en el tiempo.

El enfoque cuántico es más preciso. La descripción clásica es una ilustración muy clara, pero no explica lo que ocurre con el protón individual.

La relajación de espín-espín siempre se explica en términos de vectores de magnetización. ¿Puedes explicar qué es en términos de mecánica cuántica?

Answer 1

En general, la interacción de los estados de magnetización del protón con los átomos vecinos permite transiciones de estados. Si podemos considerarlos como pequeñas perturbaciones, entonces en términos de la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo se da la tasa de probabilidad de transición del estado i al f, $$\begin{equation} W_{fi} = \frac{2\pi}{\hbar} |<f|V|i>|^{2} \delta(E_{f}-E_{i}) \end{equation}$$ Para conservar la energía si la transición de $m=-1/2$ a $m=+1/2$ sucede, debe ser seguido por otro protón de $m=+1/2$ a $m=-1/2$ . A continuación, tome dos estados cualesquiera $a,b$ con el estado b tiene mayor energía. Denotemos una transición energética ascendente por $a-$ $\rightarrow$ $b+$ y la transición a la baja por $b+$ $\rightarrow$ $a-$ .

Si $N_{+}$ es el número inicial de giros con $m=+1/2$ entonces,

$$\begin{equation} \frac{dN_{+}}{dt} = W_{b+a-}N_{-}n_{a}-W_{a-b+}N_{+}n_{b} \end{equation}$$

donde $n_{b}$ es el número inicial de estados con mayor energía y $n_{a}$ energía más baja, relacionada con el factor de Boltzmann,

$$\begin{equation} \frac{n_{a}}{n_{a}} = e^{-\hbar B_{0} \gamma /kT} \end{equation}$$

Para nuestro caso las transiciones de probabilidad son iguales, lo que ocurre en $1^{st}$ o la teoría de la perturbación,

$$\begin{equation} W_{b+a-} = W_{a-b+} = W \end{equation}$$

El número total de estados es fijo, $$\begin{equation} N = N_{+}+N_{-} \end{equation}$$ y la escritura, $$\begin{equation} N_{\pm} = \frac{N \pm \Delta N}{2} \end{equation}$$ Ahora combinando las ecuaciones anteriores, $$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = WN(n_{a}-n_{b})-W\Delta N(n_{a}-n_{b}) \end{equation}$$ Queremos que en el equilibrio $$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = 0 \end{equation}$$ Pero esto implica $$\begin{equation} \Delta N_{0} = \frac{n_{a}-n_{b}}{n_{a}+n_{b}}N \end{equation}$$ Definir $W(n_{a}+n_{b})$ como $\frac{1}{T_{1}}$ constante de tiempo de relajación longitidunal, entonces obtenemos

$$\begin{equation} \frac{d \Delta N}{dt} = \frac{\Delta N_{0} -\Delta N}{T_{1}} \end{equation}$$

Por último, tome la media sobre el volumen y obtendrá algo similar a

$$\begin{equation} \frac{d M_{z}}{dt} = \frac{M_{0}-M_{z}}{T_{1}} \end{equation}$$ que es la ecuación de relajación de la componente longitudinal del espín.