¿Funciones analíticas en dimensiones superiores?

Question

Decimos que una función analítica es una función que viene dada localmente por una serie de potencias convergentes. Me pregunto cómo podría ser la función analítica en dimensiones superiores. En otras palabras, cómo escribir la serie de potencias para una función $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ ?

Si está dada por las derivadas parciales de $f$ ?

Answer 1

Es bastante feo en su forma general, pero el series multivariables viene dada por

$$ T(x_{1},\ldots ,x_{j})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{j}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{j}-a_{j})^{n_{j}}}{n_{1}!\cdots n_{j}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{j}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}} \cdots \partial x_{j}^{n_{j}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{j})$$

Answer 2

Una función $f : \Omega (\subseteq \mathbb C^n) \to \mathbb C$ de varias variables complejas se llama holomorfa si es holomorfa en cada variable por separado.

Esto equivale a que para cada $z_0 \in \Omega$ que haya un $r > 0$ tal que $\overline{D^n}(z_0, r) \subseteq \Omega$ et $$f(z) = \sum_\alpha a_\alpha(z-z_0)^\alpha$$ donde la serie converge de forma absoluta y uniforme. Aquí, $$D^n(z_0, r) = \{ z = (z_j)_{j=1}^{n} \in \mathbb C^n : |z_j - z_{0j}| < r; j = 1, \ldots, n \}$$ et $\alpha$ es un multiíndice . El bar sobre $D^n$ denota el cierre.

Fuente: Teoría de las funciones de varias variables complejas, 2ª ed., Steven G. Krantz