Una fórmula básica de derivación de colisiones elásticas 1D

Question

He encontrado la siguiente fórmula para la colición elástica 1d:

$$v_1 +u_1 =v_2+u_2 $$

(v,u significa la velocidad antes y después de la colisión respectivamente)

Intenté derivarlo a partir de las conservaciones de momento y energía pero no vi cómo funciona. Además, cuando traté de ver si funciona, parece que funciona para la relación de masa de 1,2 y el infinito (colisión de la pared).

Un problema que vi fue que obviamente cuando no hay colisión la ley no se aplica. ¿Alguien puede ayudarme a precisar lo que me falta?

Answer 1

Conservación del momento y de la energía cinética: $$m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$$ $$\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$$

puede reescribirse como: $$m_1\left(v_1 - u_1\right) = -m_2\left(v_2 - u_2\right)$$ $$m_1\left(v_1^2 - u_1^2\right) = -m_2\left(v_2^2 - u_2^2\right)$$

Sustituyendo: $v_i^2 - u_j^2 = \left(v_i+u_j\right)\left(v_i-u_j\right)$ rendimientos: $$ m_1\left(v_1 - u_1\right) = - m_2\left(v_2 - u_2\right)$$ $$m_1\left(v_1+u_1\right)\left(v_1-u_1\right) = -m_2\left(v_2+u_2\right)\left(v_2-u_2\right)$$

Dividiendo esta última por la primera ecuación se obtiene: $$ v_1 + u_1 = v_2 + u_2$$ que es la ecuación que está buscando

Answer 2

Aquí está la prueba.

Dejemos que $$KE_1 = \frac{1}{2}m_1(v_1^2 - u_1^2)$$

Dejemos que $$KE_2 = \frac{1}{2} m_2(v_2^2 - u_2^2)$$

Al tratarse de una colisión elástica, la KE debe conservarse. $$KE_1 - KE_2 = 0$$

$$KE_1 = KE_2$$

$$\frac{1}{2}m_1(v_1^2 - u_1^2) = \frac{1}{2}m_2(v_2^2 - u_2^2)$$

$$m_1 = m_2.\frac{v_2^2 - u_2^2}{v_1^2 - u_1^2}$$

Por la conservación del momento,

$$m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$$

Sustituyendo por $$m_1$$ ,

$$m_2.\frac{v_2^2 - u_2^2}{v_1^2 - u_1^2}u_1 + m_2u_2 = m_2.\frac{v_2^2 - u_2^2}{v_1^2 - u_1^2}v_1 + m_2v_2$$

Cancelar $$m_2$$ ,

$$\frac{v_2^2 - u_2^2}{v_1^2 - u_1^2}u_1 + u_2 = \frac{v_2^2 - u_2^2}{v_1^2 - u_1^2}v_1 + v_2$$

$$\frac{v_1-u_1}{u_2-v_2}.\frac{(v_2 + u_2)(v_2 - u_2)}{(v_1 + u_1)(v_1 - u_1)} = 1$$

$$\frac{(-1)(u_2 + v_2)}{v_1 + u_1} = 1$$

$$(-1)(u_2 + v_2) = v_1 + u_1$$

$$|u_2 + v_2| = |v_1 + u_1|$$

Hazme saber si necesitas aclarar alguna parte de la prueba.