Ángulo minimizado del vector medio

Question

$\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}$ Supongamos que tengo $n$ vectores $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n \in \mathbb{R}^N$ . Si defino el vector medio como:

$$\hat{\vec{v}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\vec{v}_i$$

Y el vector unitario, que minimiza el mayor ángulo posible entre cualquiera de los $\vec{v}_i$ y a sí mismo, como:

$$\vec{v}^\theta=\argmin_{|\vec{v}|=1}\bigg(\max_{i\in\{1,\cdots,n\}}\bigg(\angle\vec{v}\vec{v}_i\bigg)\bigg)$$ donde $\angle \vec{v} \vec{v}_i$ es el ángulo (sin signo) entre $\vec{v}$ y $\vec{v}_i$ ¿son equivalentes las dos afirmaciones siguientes? Y si es así, ¿por qué?

• $\hat{\vec{v}}$ es distinto de cero y para todo $i \in \{1,\cdots,n\}$ es cierto que $\angle \hat{\vec{v}} \vec{v}_i<\frac{\pi}{2}$ .
• $\vec{v}^\theta$ está definida de forma única y para todo $i \in \{1,\cdots,n\}$ es cierto que $\angle \vec{v}^\theta\vec{v}_i<\frac{\pi}{2}$ .

Cuando dibujo siempre me parece cierto, pero ¿cómo demostrarlo rigurosamente?

Answer 1

$\def\u{\vec{u}}\def\v{\vec{v}}\def\paren#1{\left(#1\right)}$ Estas dos proposiciones no son equivalentes. He aquí un contraejemplo explícito para $N = 2$ y $n = 2$ : Tome $\v_1 = (x_1, y_1) \in (-∞, 0) × (0, +∞)$ y $\v_2 = (x_2, 0)$ donde $x_2 > -\dfrac{x_1^2 + y_1^2}{x_1}$ . Es fácil ver que $\v^θ$ es la bisectriz de $\angle \v_1\v_2$ Así que $$ \angle \v^θ\v_1 = \angle \v^θ\v_2 = \frac{1}{2} \angle \v_1\v_2 < \frac{π}{2}, $$ pero $$ \hat{\v} · \v_1 = \frac{1}{2} (x_1 + x_2, y_1) · (x_1, y_1) = \frac{1}{2} (x_1^2 + y_1^2 + x_1 x_2) < 0, $$ es decir $\angle \hat{\v}\v_1 > \dfrac{π}{2}$ .

En general $N$ y $n$ la observación clave es que las longitudes de $\v_k$ no afecta a $\v^θ$ pero sí afecta a $\hat{\v}$ . Por lo tanto, si $\v_1, \cdots, \v_n$ satisfacen las siguientes condiciones:

1. Todo $\v_k$ están en un medio espacio, es decir, existe $\u$ tal que $\u · \v_k > 0$ para todos $k$ ;
2. La longitud de uno de los $v_k$ es mucho mayor que la de los demás (por ejemplo, supongamos que es $\v_1$ ), es decir \begin{gather*} \|\v_1\| \gg \max_{k ≠ 1} \|\v_k\|; \tag{1} \end{gather*}
3. Uno de $\v_k$ 's ( $k ≠ 1$ ) satisface $\v_1 · \v_k < 0$ (por ejemplo, supongamos que es $\v_2$ );

entonces por la definición de $\v^θ$ , $$ \max_k \angle \v^θ\v_k \leqslant \max_k \angle \u\v_k < \frac{π}{2}, $$ pero \begin{gather*} \hat{\v} ≈ \frac{1}{n} \v_1 \Longrightarrow \hat{\v} · \v_2 ≈ \frac{1}{n} \v_1 · \v_2 < 0. \tag{2} \end{gather*}

Para ser más rigurosos, definir $\u_k = \dfrac{\v_k}{\|\v_k\|}$ para todos $k$ (1) puede expresarse como \begin{gather*} \|\v_1\| > -\frac{1}{\u_1 · \u_2} \sum_{k ≠ 1} \|\v_k\|, \tag{1$'$} \end{gather*} y por lo tanto \begin{gather*} \hat{\v} · \v_2 = \frac{1}{n} \paren{ \sum_{k = 1}^n \v_k } · \v_2 \leqslant \frac{1}{n} \paren{ \v_1 · \v_2 + \sum_{k ≠ 1} \|\v_k\| \|\v_2\| }\\ = \frac{1}{n} \paren{ \|\v_1\| \|\v_2\| · (\u_1 · \u_2) + \sum_{k ≠ 1} \|\v_k\| \|\v_2\| } < 0. \tag{2$'$} \end{gather*}