Plano de fase para la guerra de guerrillas frente a la convencional

Question

Para una clase, estoy modelando una batalla entre una fuerza convencional, $C(t)$ y una fuerza guerrillera, $G(t)$ . Ya sé que la derivada temporal de $C(t)=-gG$ , donde $g$ es la eficacia de la guerrilla, y la derivada temporal de $G(t)=-cCG$ .

Entonces tomo la proporción para obtener $dC/dG = g/cC$ . Separando estos e integrando, tengo $gG = 0.5cC^2 +K$ . No estoy seguro de lo que $K$ se supone que es, pero lo incluyo desde que lo integré.

Ahora debo trazar el plano de fase, y estoy bastante perdido en cómo hacerlo. ¿Tiene que ver con el trazado del campo de la pendiente de $dC/dG=1/C$ ? También debo derivar una condición que diga quién gana y quién pierde.

Answer 1

Por favor, perdone que cambie los nombres de las variables porque al tener un $c$ y $C$ es muy confuso.

Tenemos el sistema

$$\dfrac{dx}{dt} = -~c x y \\ \dfrac{dy}{dt} = -~ d x$$

Resolver para $\dfrac{dy}{dx}$

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{- d x }{-c x y} = \dfrac{d}{cy}$$

Esta es una ecuación separable, por lo que podemos separar las variables e integrar cada lado

$$\displaystyle c\int_{y_0}^y y ~ dy = d \int_{x_0}^x dx \implies \dfrac{c}{2}(y^2 - y_0^2) = d(x-x_0)$$

Simplificando

$$c~ y^2 - 2~ d~ x = c~y_0^2 - 2~ d~ x_0 = M$$

Son parábolas. Utilizando la ecuación de una parábola anterior, el retrato de fase (WLOG, dejemos $c = d = 1$ pero se puede jugar con otros valores, pero cualitativamente, básicamente es lo mismo que se muestra).

Observaciones: Si $M > 0, y$ gana, si $M = 0$ , empate, si $M < 0, x$ gana. Ciertamente, puede añadir tres puntos iniciales de diferente color en el retrato de la fase, como se muestra arriba.

Vale la pena señalar que podrías simplemente trazar el retrato de fase sin resolver usando detalles del sistema, pero es probable que hayas aprendido estos métodos o puedas buscarlos.