¿Por qué no hay ningún % de functor $\mathsf{Group}\to\mathsf{AbGroup}$enviar grupos a sus centros?

Question

La categoría $\mathbf{Set}$ contiene como los objetos de todos los conjuntos pequeños y flechas todas las funciones entre ellos. Un sistema es "pequeño" si pertenece a un conjunto más grande $U$, el universo.

Que $\mathbf{Grp}$ es la modalidad de grupos pequeños y morfismos entre ellos y $\mathbf{Abs}$ la categoría de grupos abelianos pequeño y sus morfismos.

No veo lo que significa no decir no % de functor $f: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Abs}$que envía cada grupo a su centro, cuando aún no se especifica $U$. ¿Puede alguien explicar?

Answer 1

El problema con este tipo de functor es el grupo teórico, no categórica. El problema surge porque los morfismos entre grupos no necesitan mapa de los centros a los centros. No tiene nada que ver con los universos, pequeñez, o cuestiones fundamentales.

Considerar, por ejemplo,$G=C_2$, $H=S_3$, $K=C_2$, y los mapas de $f\colon G\to H$ enviar el elemento no trivial de $G$$(1,2)$, e $g\colon H\to K$ ver $S_3/A_3$ como el grupo cíclico de orden $2$.

Desde $Z(G) = Z(K) = C_2$, e $Z(H) = \{1\}$, una supuesta functor $\mathcal{F}$ daría ese $\mathcal{F}(f)\colon C_2\to\{1\}$ es el cero mapa de $\mathbf{z}$, e $\mathcal{F}(g)\colon \{1\}\to C_2$ es la inclusión de la trivial grupo en $C_2$. Pero $g\circ f=\mathrm{id}_{C_2}$, por lo que $$\mathrm{id}_{C_2} = \mathcal{F}(\mathrm{id}_{C_2}) = \mathcal{F}(gf) = \mathcal{F}(g)\mathcal{F}(f) = \mathbf{z}$$ donde $\mathbf{z}\colon C_2\to C_2$ es el cero mapa.

Por lo tanto, no functor $\mathcal{F}$ puede existir.