Función coercitiva y existencia de una bola

Question

Tengo una función continua $V:\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$ que es coercitivo que es $$V(x)\rightarrow +\infty, ~|x|\to+\infty$$

Cómo demostrar que para cada $\eta>0$ existe $R>0$ tal que $$\frac{1}{V(x)}\leq \eta,~ |x|>R$$

Gracias

Answer 1

Esto es más o menos por definición. La condición

$$\lim_{|x|\to \infty} V(x)= \infty$$

dice que para cada $N>0$ Hay un $R>0$ tal que $|x|\ge R$ implica $V(x)>N$ .

Así que dado $\eta>0$ , toma $N = \displaystyle \frac{1}{\eta}$ .