función característica de $\sum_i^N X_i$ , $N$ es una distribución de Poisson

Question

Tengo una serie de $X_i$ variables aleatorias, distribuidas de forma idéntica e independiente. $S_n=\sum_i^N X_i$ con $N$ que tiene una distribución de Poisson y es independiente de $X_i$ .

Tengo que calcular la función característica.

Intenté aplicar la ley de la expectativa iterada:

$E[e^{it \sum_i^N X_i}]=E[E[e^{it\sum_i^N X_i}|N]]=E[N]E[e^{it\sum_i^N X_i}] =E[N]\prod_i^NE[e^{itX_i}]$

¿Es eso correcto?

Answer 1

Supongamos que $X_i$ La función característica de la empresa es $f(t) = E(e^{itX_i})$ entonces

\begin{align} E(e^{it\sum_{i=1}^N X_i}) &= E(E(e^{it\sum_{i=1}^N X_i}|N)) \\ & = E(\prod_{i=1}^NE(e^{itX_i})) \\ & = E(f^N(t)) \\ & = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}f^{k}(t)\\ & = e^{-\lambda}e^{\lambda f(t)} \\ & = e^{(f(t)-1)\lambda} \end{align} donde $\lambda$ es el parámetro de la distribución de Poisson

Answer 2

Denotando $\varphi\left(t\right)=\mathbb{E}e^{itX_{1}}$ y asumiendo que $N\sim Poisson\left(\lambda\right)$ :

$\mathbb{E}\left[e^{it\sum_{j=1}^{N}X_{j}}\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{E}\left[e^{it\sum_{j=1}^{N}X_{j}}\mid N=n\right]P\left[N=n\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{E}\left[e^{it\sum_{j=1}^{n}X_{j}}\right]P\left[N=n\right]=e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}\varphi\left(t\right)^{n}\frac{\lambda^{n}}{n!}=e^{-\lambda+\lambda\varphi\left(t\right)}$