¿Cómo se encuentra el área del área sombreada de este círculo?

Question

Necesito encontrar el área del área sombreada. El triángulo es equilátero. Hasta ahora, he encontrado que el área del triángulo es $\sqrt 3$ Pero no sé cómo encontrar el radio de la circunferencia para encontrar el área de la misma. Se agradece cualquier consejo.

Answer 1

Vamos a etiquetar el dibujo de Ahmed: Triángulo $ABC$ , abajo a la izquierda $A$ y luego en sentido contrario a las agujas del reloj $B$ y $C$ (arriba). Sea el centro del círculo $M$ . Ampliar $CM$ para intersecar $AB$ en $D$ . Duración de la nota $AD$ $=$ longitud $DB$ $=1$ , $MD$ siendo la bisectriz perpendicular de $AB$ . Triángulo $ADM$ es un triángulo rectángulo. Ángulo $MAD = 30°$ .

$$\cos (30°) = \frac{1}{r}$$

$$r = \frac{1}{\cos (30°)}$$

Utilizando $\cos (30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ obtenemos $r$ .

Answer 2

Estamos buscando el radio, ¿verdad? Así que vamos a dibujarlos ..

Por favor, disculpen el dibujo.

Bien. Ahora tenemos un triángulo isósceles $30-30-120$ . Si $r$ es el radio entonces la ley de los senos nos dice,

$$\frac{2}{\sin 120}=\frac{r}{\sin 30}$$

Así que $r=2 \frac{\sin 30}{\sin 120}=2\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ . Creo que puedes seguir desde aquí.