Calcular $\int^2_0\frac{\arctan x}{x^2-4x-1}\,dx$

Question

Calcular $\int^2_0\frac{\arctan x}{x^2-4x-1}\,dx$ .

La única idea que tengo es sustituir $t=x+1$ pero no creo que sea buena.

Answer 1

Por la involución de inversión de orden $x\mapsto\frac{2-x}{1+2x}$ , $$I=\int_0^2\frac{\arctan\frac{2-x}{1+2x}dx}{x^2-4x-1}.$$ (Esto se puede encontrar sustituyendo $y=\arctan x$ en la definición original de $I$ , verificando entonces una sospecha de que el nuevo integrando es de la forma $yf(y)$ con $f(\arctan2-y)=f(y)$ .) Promedio, $$I=\frac{\arctan2}{2}\int_0^2\frac{dx}{x^2-4x-1}=-\frac{\arctan2\operatorname{artanh}\frac{2}{\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}}.$$ Según Wolfram Alpha esto es numéricamente correcto, $-0.357395$ .

Answer 2

Como comentó @Tito Eliatron, integrar por partes $$I=\int\frac{\tan ^{-1}(x)}{x^2-4 x-1}dx$$ $$I=\tan ^{-1}(x)\frac{\log \left(-x+\sqrt{5}+2\right)-\log \left(x+\sqrt{5}-2\right)}{2 \sqrt{5}}+\frac J{2 \sqrt{5}}$$ $$J=\int\frac{\log \left(-x+\sqrt{5}+2\right)-\log \left(x+\sqrt{5}-2\right)}{x^2+1}dx$$ $$\frac 1{x^2+1}=\frac 1{(x+i)(x-i)}=\frac{i}{2 (x+i)}-\frac{i}{2 (x-i)}$$ Todo esto hace que nos enfrentemos ahora a cuatro integrales $$I=\int \frac{\log (a x+b)}{x+c}dx=\text{Li}_2\left(\frac{a x+b}{b-a c}\right)+\log (a x+b) \log \left(1-\frac{a x+b}{b-a c}\right)$$ Integrado entre los límites dados, esto conduce a una expresión bastante complicada que es difícil de simplificar debido al montón de polilogaritmos de argumentos complejos.

Después de un trabajo bastante tedioso $$\int_0^2\frac{\tan ^{-1}(x)}{x^2-4 x-1}dx=-\frac{\tan ^{-1}(2) \sinh ^{-1}(2)}{2 \sqrt{5}}\sim -0.3573950303$$