¿Se le ocurre a alguien una consecuencia interesante de que la conjetura de los primos gemelos sea cierta?

Question

La pregunta está en el título. Me preguntaba si hay afirmaciones equivalentes o una consecuencia de la afirmación de que hay infinitos primos gemelos.

Si no es así, ¿por qué esta conjetura es un "punto terminal" de las matemáticas considerado interesante?

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Si no es una pregunta fácil de responder, estoy dispuesto a aceptar afirmaciones (o consecuencias) equivalentes conocidas. La más elegante gana.

Prefiero los enunciados algebraicos a los analíticos. Los enunciados analíticos son la mayoría de los intentos publicados. Sueño con que tengan un enfoque algebraico.

Answer 1

El problema de las primas gemelas es la punta de un iceberg. Resolverlo podría ayudarnos a decidir si, incluso $k$ hay infinitos pares de primos que difieren en $k$ incluso si hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en $k$ y que podría arrojar luz sobre la cuestión de si para cada admisible $m$ -tupla $(a_1,a_2,\dots,a_m)$ hay infinitos $n$ tal que todos los números $n+a_1,n+a_2,\dots,n+a_m$ son primos, y eso podría darnos una idea de la Hipótesis H de Schinzel (q.v.).

Answer 2

No sé qué aplicación tendrá en el mundo real, pero hace tiempo, por curiosidad, quise encontrar la expansión asintótica del $n$ -el primer gemelo $q_n$ asumiendo la conjetura de los primos gemelos. Tengo algo así como

$$ q_n \sim \frac{n\log^2 n}{C}\bigg(1 + \frac{2\log\log n - 1}{\log n - 2}\bigg)^2 $$ donde $C$ es el doble de la constante del primo gemelo.

Answer 3

El notable artículo de Zhang sobre infinitos pares de primos que difieren en menos de $7 \times 10^6$ fue llevada hasta $246$ en un proyecto de ploymath iniciado por Terrence Tao y agudizado por los últimos trabajos de James Maynard. La conjetura del primo gemelo implicará que el límite puede reducirse aún más de la forma $246$ a $2$ lo que a su vez implicaría que hay una gran cantidad de herramientas matemáticas esperando a ser descubiertas para poder reducir la forma límite $246$ a $2$ .

Answer 4

Su equivalente:

• Existen infinitas veces, cuando $12m$ es una suma de primos que difieren en 2 (particiones de Goldbach).
• Existen infinitos números naturales no de formas: $6ab+a+b$ , $6ab+a-b$ , $6ab-a-b$ para algunos números naturales $a,b$

Sólo por nombrar algunos.

El segundo, viene de $(6a+1)(6b+1)$ , $(6a-1)(6b+1)$ , $(6a-1)(6b-1)$ y el tamiz de las ideas de Sundaram. Se puede mejorar hasta el mod 30, etc. Simplemente no tengo ganas de escribir 37 formularios actualmente.