Buscando referencias sobre los resultados de las potencias de los primos que dividen $y^n-1$

Question

Para un primer $p$ y un número entero positivo $n$ , dejemos que $E(n,p)$ ser el más grande $k$ tal que $p^k \mid n$ y $E(n,p) = 0$ si $p \nmid n$ . Sea $E(n) = E(n, 2)$ .

Hace unos años, probé los siguientes resultados, y me pregunté si eran bien conocidos (todas las variables son enteras positivas):

1. Si $y \ge 3$ es par y $n$ es incluso entonces $E(y^n-1) = E(n) + \max(E(y-1), E(y+1))$ .

2. Si $y$ es par y $p \mid y-1$ , donde $p$ es un primo de impar, entonces $E(y^n-1,p) = E(n,p)+E(y-1,p)$ .

Answer 1

Bastante conocido, creo. Deja que $y=1+mp^k$ , $p$ no dividir $m$ y, a continuación, ampliar $y^n-1=(1+mp^k)^n-1$ por el teorema del binomio y mira las potencias de $p$ en los términos.