Es bien sabido que $p$ -logaritmo adico definen un isomorfismo de $B(1,p^{-1/p-1})$ a $B(0,p^{-1/p-1})$ . Me gustaría saber si es posible extender de alguna manera este logaritmo al conjunto de $x$ tal que $|x|_p=1$ . Mi idea sería encontrar un mínimo $n$ tal que $x^n \in B(1,p^{-1/p-1})$ y definir $\log_p(x)=\frac{\log_p(x^n)}{n}$ . Pero no soy capaz de encontrar tal $n$ . Así que me gustaría saber si efectivamente es posible ampliar $\log_p$ a este conjunto.
Respuesta
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Para $p>2,$ es un hecho habitual que
$\{x\in \Bbb Q_p: |x|_p=1\} = \Bbb Z_p^\times \simeq \mu_{p-1}(\Bbb Q_p) \times \{x\in \Bbb Q_p: |x-1|_p <1\}$
como grupos topológicos. El segundo factor del lado derecho son las unidades principales, a menudo denotadas $U_1$ y desde el $p$ -valor absoluto de la adicción en $\Bbb Q_p$ sólo toma potencias enteras de $p$ como valor, es idéntico a su $B(1, p^{-\frac{1}{p-1}})$ .
Para ampliar el logaritmo $log:U_1 \rightarrow \Bbb Q_p$ al conjunto completo $\Bbb Z_p^\times$ Por lo tanto, "sólo" hay que definirlo en $\mu_{p-1}(\Bbb Q_p)$ El $(p-1)$ -Raíces de la unidad. De hecho, la única $n$ que tiene que elegir para su fórmula de ampliación propuesta es $n=p-1$ . Sin embargo, si quieres que la extensión sea un homomorfismo de grupo (del grupo multiplicativo de la izquierda al aditivo de la derecha), tendrás que definirlo como $log(\zeta) = 0$ para todos $\zeta \in \mu_{p-1}(\Bbb Q_p)$ porque esos $\zeta$ son de torsión, mientras que el único elemento de torsión del lado derecho es $0$ . (O, utilizando su fórmula de extensión, $log(\zeta) = \frac{log(\zeta^{p-1})}{p-1} = \frac{log(1)}{p-1} = 0$ .)
En particular, una extensión del logaritmo a $\{x\in \Bbb Q_p: |x|_p=1\}$ no puede ser al mismo tiempo un homomorfismo de grupo e inyectivo.
