Transformada inversa de Mellin de $f(s)= 2^{ \frac{s}{6} }\frac{\Gamma \left( \frac{s+1}{3/2} \right)}{ \Gamma \left( \frac{s+1}{2} \right)}$

Question

Dada la función $$f(s)= 2^{ \frac{s}{6} }\frac{\Gamma \left( \frac{s+1}{3/2} \right)}{ \Gamma \left( \frac{s+1}{2} \right)},$$

podemos encontrar la transformada inversa de Mellin para $f(s)$ ? Así es, $$\frac{1}{2 \pi i}\int_{- i\infty}^{ i\infty} 2^{ \frac{s}{6} }\frac{\Gamma \left( \frac{s+1}{3/2} \right)}{ \Gamma \left( \frac{s+1}{2} \right)} x^{-s-1 } ds$$ para $x>0$ .

Me preguntaba si la integral se puede expresar en términos de funciones hipergeométricas. Por ejemplo, esto es muy similar a la Mellin-Barnes integral \begin{align} {}_2F_1(a,b;c;z) =\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)}(-z)^s\,ds \end{align}

Sin embargo, no estoy seguro de cómo relacionarlo con mi problema.

Gracias.

Answer 1

Utilizando los residuos, esto no es muy difícil. Esencialmente

$$g(x) = \frac{1}{2\pi i}\int x^{-s} f(s)\,ds = \sum_{k} Res_{s=s_k} x^{-s}f(s)$$

donde el $s_k$ son los polos de $\Gamma(2s/3)$ (que se producen cuando $s = -3k/2$ para $k \ge 0$ ) que no se anulan con los ceros de $\Gamma(s/2)$ (que se producen cuando $s = -2k$ ). Como los polos son simples, los residuos no son demasiado difíciles de encontrar.

Los polos tienen la parte principal

$$\frac{3}{2}\frac{(-1)^n}{n!(s+3n/2)}$$

Por lo tanto,

$$g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{3}{2}\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(-3n/4)}2^{(1-3n/2)/6}x^{3n/2}$$

Con eso debería bastar. Algunos de estos términos desaparecen porque $\frac{1}{\Gamma(-3n/4)}$ a veces se desvanece, soy demasiado perezoso para desviar los términos que aparecen o no :). Nótese que se trata de una continuación analítica, y las funciones $g(\sqrt[3]{x^2})$ y $g(x^2)$ son enteras en $x$ .

Answer 2

Permítanme ofrecer una solución parcial, que podría terminar más tarde. Utilizando repetidamente el Fórmula de multiplicación de Gauss se obtiene la siguiente identidad:

$$2^{ \frac{s}{6} }\frac{\Gamma \left( \frac{s+1}{3/2} \right)}{ \Gamma \left( \frac{s+1}{2} \right)}=\frac1{\sqrt{\pi } \sqrt[6]{2}}\frac{\Gamma \left(\frac{s}{6}+\frac{11}{12}\right) \Gamma \left(\frac{s}{6}+\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(\frac{s}{6}+\frac{5}{12}\right)}{\Gamma\left(\frac{s}{6}+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(\frac{s}{6}+\frac{5}{6}\right)}\left(\sqrt{\frac38}\right)^{-s}$$

y ahora la transformada inversa de Mellin se puede convertir directamente en una Meijer $G$ -función , dando como resultado

$$\frac{3\sqrt[6]{32}}{\sqrt{\pi}}G_{2,3}^{3,0}\left(\frac{27z^6}{512}\middle| {{\frac12,\frac56}\atop{\frac{5}{12},\frac23,\frac{11}{12}}}\right)$$

Esto se puede ampliar en una suma de $3$ ${}_2 F_2$ funciones hipergeométricas, utilizando esta fórmula .