Probabilidades de cada tamaño de mano en una partida de Go Fish

Question

Una partida de GoFish se juega con una baraja de 52 cartas (4 palos, 13 rangos en cada palo).

Juegan de 2 a 6 jugadores. Con 2 jugadores se reparten 7 cartas a cada uno. Con 3 o más jugadores se reparten 5 cartas a cada uno.

Los jugadores se turnan para pedir un rango a los demás. Si el jugador al que se le pide tiene cartas de ese rango, se las da todas al jugador que se las pide. Si no, el jugador que pregunta roba una sola carta del mazo.

Cuando un jugador tiene 4 cartas del mismo rango, esas cartas se descartan.

El turno pasa al siguiente jugador en el orden de las agujas del reloj. El juego termina cuando la mano de un jugador está vacía o el mazo se ha agotado.

Para simplificar, se puede suponer que un solo jugador roba del mazo de una en una, y cuando obtiene 4 cartas del mismo rango, las descarta.

Dadas las reglas normales o la versión simple, ¿cuáles son las probabilidades de tener X número de cartas en la mano?

Por ejemplo, ¿cuáles son las probabilidades de alcanzar una mano de 30 cartas? ¿31 cartas? ¿32 cartas?

Answer 1

Esto es para el juego de un jugador y una mano inicial de cinco cartas. Consideraré que tienes una mano con $k$ cartas si después de tirar todos los grupos de cuatro cartas del mismo valor, tiene $k$ cartas en tu mano. Por ejemplo, si su mano inicial es $\{2,3,3,3,3\}$ Lo consideraré una mano de una carta, no de cinco.

Dejemos que $P(k)$ sea la probabilidad de que en algún momento del juego se tenga un $k$ mano de cartas. Los siguientes valores son fáciles: $P(0)=1$ (al final de la partida no tienes cartas en la mano) y $P(40)=P(41)=\dots=P(52)=0$ (si tiene $40$ cartas, debe haber un grupo de cuatro cartas del mismo valor). Un poco de reflexión da $$ P(39)=\frac{4^{13}}{\dbinom{52}{13}}=0.000105681 $$

Para el resto de los valores he realizado una simulación en Mathematica de $10^7$ juegos. Estos son los resultados:

 k      H(k)
 0       483
 1     25839
 2    596131
 3  10000000
 4    230004
 5  10000000
 6  10000000
 7  10000000
 8  10000000
 9  10000000
10  10000000
11  10000000
12  10000000
13  10000000
14  10000000
14   9999996
16   9999945
17   9999720
18   9998600
19   9994328
20   9980514
21   9942513
22   9854106
23   9675123
24   9348731
25   8822787
26   8068444
27   7080395
28   5919525
29   4675434
30   3458156
31   2381202
32   1514558
33    876208
34    458693
35    213203
36     84852
37     28160
38      7216
39      1067

Para cada $k$ , $H(k)$ es el número de partidas en las que una mano de $k$ cartas antes de llegar al final de la baraja. Observe que el valor de $H(39)$ está de acuerdo con el valor exacto de $P(39)$ . Un gráfico de los resultados:

Es sorprendente (al menos para mí) que para ciertos valores de $k$ como $k=5$ Una mano de $k$ tarjetas se celebró en todo $10^7$ juegos, incluso si una baraja como

1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,...

dará sólo manos de $1$ , $2$ , $3$ y $4$ tarjetas.

Answer 2

Acabé escribiendo una simulación de Go Fish y ejecuté 10.000 partidas con 2, 3, 4, 5 y 6 jugadores.

Los jugadores de la simulación eran una IA básica para intentar imitar cómo jugarían los humanos.

Aquí están los resultados: http://telparia.com/gofish_sim_results.html