Una representación en serie para $e^x$

Question

Quiero demostrar que para $x \notin \{2,3,4,\dots\}$ $$e^x = \frac{2+x}{2-x} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{-x^{k+1}}{k!(k-x)(k+1-x)}$$

Está bastante claro que por qué $x \notin \{2,3,\dots\}$ . Demostré que la serie converge para todos los demás $x$ mediante la prueba de la proporción. Mis pensamientos iniciales eran tomar $$ f(x) = \frac{2+x}{2-x} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{-x^{k+1}}{k!(k-x)(k+1-x)}$$ y encontrar $f'(x)$ haciendo término a término por diferenciación y como sabemos que $f(0) = 1$ podemos encontrar $f(x)$ . Sospecho que no podemos hacerlo sin demostrar que la diferenciación término a término es válida. Sin embargo, he intentado hacer eso también pero me he quedado atascado aquí.

$$ f'(x) = \frac{4}{{\left(x - 2\right)}^{2}} - \sum_{k=2}^{\infty}\left( \frac{{\left(k + 1\right)} x^{k}}{{\left(k - x + 1\right)} {\left(k - x\right)} k!} + \frac{x^{k + 1}}{{\left(k - x + 1\right)} {\left(k - x\right)}^{2} k!} + \frac{x^{k + 1}}{{\left(k - x + 1\right)}^{2} {\left(k - x\right)} k!} \right)$$

¿Cómo puedo demostrar que esta diferenciación término a término es válida y cómo puedo continuar?

¿Puede alguien sugerir otras formas de hacerlo?

Answer 1

¿Puede alguien sugerir otras formas de hacerlo?

Sí, se puede demostrar la identidad directamente, sin calcular la derivada. Empezamos con una descomposición parcial de la fracción: $$ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{-x^{k+1}}{k!(k-x)(k+1-x)} = \sum_{k=2}^{\infty}\frac{-x^{k+1}}{k!} \left( \frac{1}{k-x} - \frac{1}{k+1-x}\right) \, . $$ El lado derecho es una serie convergente de la forma $\sum_{n=2}^\infty (a_n +b_n)$ con $a_n \to 0$ por lo que se permite reagrupar los términos para $a_2 + \sum_{n=2}^\infty (a_{n+1}+b_n)$ . Esto da $$ \frac{-x^3}{2!}\frac{1}{2-x} + \sum_{k=2}^{\infty} \left( - \frac{x^{k+2}}{(k+1)!(k+1-x)}+\frac{x^{k+1}}{k!(k+1-x)} \right) \,. $$ (La idea es combinar los términos con el mismo factor $(k+1-x)$ en los denominadores). Y ahora ocurre la magia: los términos de la nueva suma se simplifican significativamente, y obtenemos $$ \frac{-x^3}{2!}\frac{1}{2-x} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{-x^3}{2!}\frac{1}{2-x} + \left( e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2} \right) = e^x - \frac{2+x}{2-x} \, . $$