Es la Guerra necesariamente finito?

Question

La guerra es un cardgame jugado por los niños y los borrachos la universidad a los estudiantes que no implica decisiones estratégicas en cualquier lado. El resultado es determinado por el reparto de las cartas. Estas son las reglas.

Un estándar de $52$ baraja de cartas se barajan y se reparten uniformemente a dos jugadores boca abajo. En cada turno, ambos jugadores ponen sus cartas superiores (una "batalla"). La carta más alta gana, y la ganadora jugador recibe dos cartas y las coloca en la parte inferior de su mazo. Si la batalla es un lazo, una "guerra" declarada, y cada jugador pone su próximo tres cartas. De estas seis cartas, el titular de la tarjeta con el valor más alto gana la vuelta, y todas las cartas jugadas que a su vez se colocan en la parte inferior de su mazo. Si un jugador no tiene $3$ cartas para jugar en una guerra, se gana la vuelta por defecto. Si la guerra es un empate, otra guerra ("el doble de la guerra"), y así sucesivamente hasta que uno de los jugadores gana. El juego termina cuando un jugador se queda sin cartas.

En caso de que las ofertas son totalmente simétrica, por ejemplo, ambos jugadores cubiertas son dos a dos, dos tres, dos gatas, etc. en ese orden, podemos decir que ambos jugadores pierden, como hace todo el mundo mirando. (En otras palabras, el juego "no.") Esto sería considerado un número finito de juego.

El Pedido De Los Convenios.

Considerar el juego desde un punto de vista matemático, con el fin de que las tarjetas se colocan en la mano de un jugador después de que él gana una vez, debe estar bien definido. Hay muchas opciones aquí, sobre todo teniendo en cuenta que podemos variar los convenios de doble guerras, triple guerras, etc., que es donde está el mayor potencial para la variación de mentiras. Por el bien de la simplicidad, y porque coincide con cómo me reconoce las tarjetas cuando estoy jugando, me sugieren que cuando un jugador gana una vez, él recoge todas las de perder, de las tarjetas en el orden en que fueron establecidas (de mayor a menor), seguido todas las cartas ganadoras.

Por ejemplo, digamos que una vez comienza con una batalla en la que los jugadores $\sf X$ y $\sf$ Y ambos se acostó ases. Por lo tanto una guerra comienza. Decir que el reproductor de $\sf X$ establece un gato, un Rey, y $3$, en ese orden, y el jugador $\sf$ Y establece una Reina, un $4$, y un Rey, en ese orden. Así que un doble de la guerra se lleva a cabo. Reproductor de $\sf X$ establece $5$, $6$, $7$ de jugador y $\sf$ Y establece $8$, $9$, $10$. Ahora, el jugador $\sf$ Y gana, así que todas estas cartas en su mazo, ordenada como tal:

$$\sf (\ldots\text{anterior de la cubierta}\ldots, \underbrace{\overbrace{\text{A},}^{\text{batalla}}\overbrace{\text{J},\text{K},3,}^{\text{primera guerra}}\overbrace{5,6,7,}^{\text{segunda guerra}}}_{\text{cartas perdedoras}}\underbrace{\overbrace{\text{Un},}^{\text{batalla}}\overbrace{\text{Q},4,\text{K},}^{\text{primera guerra}}\overbrace{8,9,10}^{\text{segunda guerra}}}_{\text{cartas ganadoras}}).$$

Una posible variación sería recoger las cartas en cada uno la guerra por separado, en el orden en que las guerras se jugaron, en cuyo caso el ejemplo anterior daría

$$\sf (\ldots\text{anterior deck}\ldots,\overbrace{\underbrace{A,}_{\text{losing}}\underbrace{A,}_{\text{winning}}}^{battle}\overbrace{\underbrace{J,K,3,}_{\text{losing}}\underbrace{Q,4,K,}_{\text{winning}}}^{\text{la primera guerra}}\overbrace{\underbrace{5,6,7,}_{\text{perdiendo}}\underbrace{8,9,10}_{\text{ganadora}}}^{\text{segunda guerra}}).$$

Preguntas.

Primero y ante todo,

Es la Guerra necesariamente finito?

Tal vez existe algún acuerdo de inicio cubiertas, lo cual produciría un eterno juego, siempre permuting cartas entre los dos jugadores. Si esto no es posible, podemos probar? Que el pedido de convenciones siempre dan lugar a lo finito de los juegos (si existe alguno)?

y, para los puntos de bonificación,

Hay $\rm {52 \elija 26}(26!)^2\aprox 10^{41}$ posibles maneras de tratar las cubiertas en el comienzo del juego. Desde trajes son irrelevantes, sin embargo, algunos acuerdos el resultado será idéntico juegos. ¿Cuál es la expresión para el número de no-idéntico juegos? Gracias joriki.

Un (sustancialmente) más difícil pregunta: si decimos que los dos juegos son similares, si cada vez tiene el mismo resultado, ¿cuál es la expresión para el número de no-juegos similares?

Answer 1

Un par de años he estudiado este problema en el caso en el que sólo hay una demanda en un $n$cartas de la baraja, por lo que las cartas tienen una estricta clasificación de $1$ $n$ y las guerras no son posibles. Pensé que sería más fácil de entender este caso más sencillo antes de abordar cubiertas con cuatro palos en el que las guerras son posibles. Resulta que he encontrado incluso en este caso a ser lo suficientemente difícil.

En virtud de la convención de que la pérdida de la tarjeta es recogido en primer lugar, he encontrado un camino para la construcción de los ciclos (por lo infinito de juegos) para todos los valores de $n$, excepto cuando $n = 2^k$ $k$. En virtud de la convención de que la tarjeta ganadora se recoge en primer lugar, he encontrado un camino para la construcción de ciclos para todos los valores de $n$, excepto cuando $n = 2^k$ o $n=3 \cdot 2^k$ $k$. Desde $52 = 13 \cdot 2^2$, mi construcciones de mostrar cómo las 52 cartas de la baraja con un estricto orden de las tarjetas de exhibición de ciclismo bajo el orden convención.

De nuevo, esto es lo que he encontrado para una versión más simple de la Guerra de la OP está pidiendo, pero quizás esto arroja alguna luz sobre el caso más general. Obviamente la posibilidad de guerras hace que el problema sea mucho más difícil. Me he preguntado, sin embargo, si el método que he encontrado para la generación de ciclos en el traje caso podría ser modificado para generar ciclos cuando hay más de un palo. He trabajado en esa pregunta un poco, pero no llegará muy lejos.

(El papel es de "Ciclos" en la Guerra," Enteros 10: Artículo G2, 747-764 de 2010, y se encuentran cerca de la parte inferior de esta página. El artículo se centra en la "carta de triunfo es recogido primera" convención, pero puedo hablar de la "la pérdida de la tarjeta es recogido primera" convención en la sección final. También debo mencionar que he contestado a la pregunta en el segundo de Gerry Myerson, los vínculos con una referencia a este papel).