Pregunta simple sobre residuos/polos/ceros/singularidades

Question

Tengo un pequeño problema con los residuos.

Si tenemos la $f(z)=\left(\frac{\cos(z)-1}{z}\right)^2$ en $z_0=0$ tenemos un cero de orden 2 en el numerador y un cero de orden 2 en el denominador, lo que significa que tenemos el residuo = 0 ¿correcto?

¿Sólo consideraríamos que el denominador tiene un polo si el denominador contiene un $(z-z_0)$ ? Si es así, ¿no está ya en esa forma?

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Para mi problema creo que ahora lo entiendo.

$$f(z)=\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{z^{2n-1}(-1)^n}{(2n)!}\right)^2$$ Tendrá la menor potencia de $z$ ser $z^2$ así que todo $b_n$ son cero y por lo tanto es una singularidad removible y este su residuo es cero.

Answer 1

En una expresión como $1/(z-z_0)$ no es el denominador el que tiene un polo; es el cociente.

Decir que $f(z)$ tiene un polo en $z=z_0$ significa que $f(z)\to\infty$ como $z\to z_0$ . Todo lo que se refiere a un polo que ocurre en lugares donde el denominador es $0$ y el numerador no es una consecuencia de la definición y no una parte de la misma. Si el numerador es holomorfo y no $0$ en $z_0$ y el denominador es holomorfo y $0$ en $z_0$ entonces el cociente tiene un polo en $z_0$ . Pero si el numerador y el denominador son holomorfos y ambos son iguales a $0$ en $z_0$ entonces hay que trabajar más para decidir si el cociente se acerca a $\infty$ en ese momento.

En la expresión $f(z)=\left(\dfrac{\cos(z)-1}{z}\right)^2$ hay un cero de orden $2$ en el denominador y un cero de orden $4$ no $2$ en el numerador. El numerador es $$ \left( -\frac{z^2}2 + \frac{z^4}{24} - \frac{z^6}{720} + \cdots \right)^2 = \frac{z^4} 4 + \text{higher-degree terms}. $$

Answer 2

Tienes razón. Si definimos $f(0)=0$ entonces se trata de una función entera (analítica en todo $\mathbb{C}$ ) que no tiene polos ni singularidades para un $z$ .