Evaluar la expresión logarítmica

Question

Evaular :

$$ \frac{1}{\log_{xy} (xyz)} + \frac{1}{\log_{yz} (xyz)} + \frac{1}{\log_{zx} (xyz)} $$

Creo que se utilizará la siguiente propiedad de registro:

$$ \log_a (b) * \log_b (c) * log_c (a) = 1 $$

¿Pero no sé cómo?

Answer 1

Utilice el hecho de que

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}.$$

Así,

$$\frac{1}{\log_{xy}(xyz)} = \frac{\ln (xy)}{\ln(xyz)}$$

etc.

Answer 2

Utilizando la identidad $$ \log_b(a)=\frac{\ln{a}}{\ln{b}} $$ Su ecuación se convierte en: $$ \frac{\ln (x y)}{\ln (x y z)}+\frac{\ln (x z)}{\ln (x y z)}+\frac{\ln (y z)}{\ln (x y z)}$$ Lo que se podría simplificar aún más (utilizando la identidad $\ln{(a\times b)}=\ln{a}+\ln{b}$ :

$$ \frac{\ln (x y)+\ln (x z)+\ln (y z)}{\ln (x y z)}= \frac{2\ln (x)+2\ln (y)+2\ln (z)}{\ln (x y z)} =\frac{2(\ln (x)+\ln (y)+\ln (z))}{\ln (x y z)}$$ $$=\frac{2(\ln (x y z ))}{\ln (x y z)}=2$$

Answer 3

Sugerencia :

$$\log (ab)=\log a + \log b$$

$$\log_a a=1$$

$$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$$

Tengo prisa... Por favor, vea si esto puede ayudarle... Si no es así espero que alguien le ayude...