Tengo una ecuación diferencial:
$$ x \frac{dy}{dx} - y - x\sin\left(\frac{y}{x}\right) = 0. $$
Estoy multiplicando ambos lados por $dx$ y estoy obteniendo:
$$ x\,dy - y\,dx - x \sin\left(\frac{y}{x}\right)\, dx = 0. $$
A continuación, tras la simplificación tengo:
$$ x\,dy - \left(y+\sin\left(\frac{y}{x}\right)\right)\,dx = 0.$$
Se trata de una ecuación diferencial homogénea con funciones homogéneas de orden $1$ ¿verdad?
Así que uso la sustitución:
$$ y = ux, dy = u\,dx + x\,du $$
y estoy obteniendo la ecuación:
$$ x(u\,dx + x\,du ) -\left(ux + \sin\left(\frac{y}{x}\right)\right)\,dx = 0.$$
Después de la simplificación que estoy obteniendo:
$$ x^{2}\, du - \sin(u)\, dx = 0.$$
Así que, a continuación, estoy dividiendo la ecuación ambos lados por: $\sin(u)x^{2}$ :
$$ \frac{du}{\sin(u)} - \frac{dx}{x^{2}} = 0.$$
Porque :
$$ \int \frac{dx}{x^{2}} = \frac{-1}{x} + C $$
y
$$ \int\frac{du} {\sin(u)} = \ln \left| \tan\left(\frac{u}{2}\right)\right| + C. $$
Así que:
$$ \ln \left|\tan\left(\frac{u}{2}\right)\right| + \frac{1}{x} = C.$$
Siguiente:
$$ \ln \left| \tan\left(\frac{y}{2x}\right)\right| = C - \frac{1}{x}$$
$$ e^{C-\frac{1}{x}} = \left|\tan\left(\frac{y}{2x}\right)\right| $$
$$ \pm e^{c} e^{\frac{-1}{x}} = \tan\left(\frac{y}{2x}\right). $$ Ahora estoy sustituyendo $d = \pm e^{e^{c}} $
y en consecuencia lo he hecho:
$$ de^{\frac{-1}{x}} = \tan\left(\frac{y}{2x}\right) $$
$$ \arctan\left(d e^{\frac{-1}{x}} \right) = \frac{y}{2x} $$
$$ y = 2x \cdot \arctan\left(de^{\frac{-1}{x}}\right).$$
Cuando miro en la respuesta del libro hay:
$$ y = 2x \cdot \arctan(cx).$$
Por qué aquí es $ x $ en cambio $e^{\frac{-1}{x}} $ ? No lo sé. ¿Es mi respuesta incorrecta? Agradeceré la ayuda. Saludos cordiales.
