Cómo mostrar la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\log(1 + \frac{1}n)$ ?

Question

Estoy tratando de probar si \begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\log(1 + \frac{1}n) \end{equation*} converge o diverge, pero ninguna de las pruebas normales (prueba de la enésima, prueba de la p, etc.) parece funcionar.

Me preguntaba si a alguien no le importaría darme una sugerencia sobre cómo mostrar si esto converge o diverge.

Gracias por adelantado C :)

Answer 1

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\log(1 + \frac{1}{n})} = \sum_{n=1}^{\infty}{\log(\frac{n + 1}{n})} = \sum_{n=1}^{\infty}{\left(\log(n + 1) - \log(n)\right)} = \lim_{N \rightarrow \infty}{\left(\sum_{n=1}^{N}{{\left(\log(n + 1) - \log(n)\right)}}\right)} = \lim_{N \rightarrow \infty}{\log(N + 1)} \rightarrow \infty$$

Por lo tanto,

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\log(1 + \frac{1}{n})}$$ diverge.

Answer 2

Para las secuencias positivas, si $a_n \sim b_n$ entonces $\sum a_n $ converge $\iff \sum b_n$ converge

Desde $\log(1 + \frac 1n) \sim \frac 1n$ y esta última diverge, concluimos que

$$\sum \log\left(1 + \frac 1n\right)$$ también diverge

Answer 3

$\sum \ln(1+\frac{1}{n})=\sum \ln(\frac{n+1}{n})=\ln\Pi_{n=1}^\infty \frac{n+1}{n}=\ln(1\frac21\frac32...\frac{n+1}{n}\frac{n+2}{n+1}...)=\lim_{n\to \infty}\ln(n)=\infty$

Answer 4

Es bien sabido que la secuencia armónica $H_N=\sum_{k=1}^N \frac1k$ diverge al infinito. Y, para $N\in\Bbb N$ ,

$$\sum_{n=1}^N\ln\left(1+\frac1n\right)=\sum_{k=1}^N\int_1^{1+\frac1n}\frac{dx}x\ge\sum_{k=1}^N\frac1n\cdot\frac{n}{n+1}=H_N-1$$