Campos numéricos euclidianos ciclotómicos

Question

Estoy aquí porque quiero repetir mi pregunta sobre el algoritmo norm-euclidiano en un anillo entero ciclotómico particular.

Dejemos que $L=\mathbb{Q}(\zeta_{32})$ y $A=\mathbb{Z}[\zeta_{32}]$ . En la página 28 de "Cyclotomic euclidean number fields", Reza Akhtar escribió una prueba atribuida a Hendrik Lenstra Jr. en la que demostraba que $A$ no es euclidiano. Sin embargo, no entiendo del todo esta prueba. En el documento se puede ver la siguiente prueba:

"Afirmamos en particular, que no hay elementos $q, r$ en $A$ tal que

$1+(1+\zeta)^5=q(1+6)^6+r$ con $N_{L/\mathbb{Q}}(r)<N_{L/\mathbb{Q}}((1+\zeta)^6)$

Utilizando la Proposición A.5 (1), calculamos $N_{L/\mathbb{Q}}((1+\zeta)=2$ Así que

$$N_{L/\mathbb{Q}}((1+\zeta)^6)=64$$

Lema 7.1: Todo elemento de $A$ que es primordial para $1+\zeta$ tiene norma equivalente con $1$ mod $32$

Prueba: ( Yo sí entiendo esta prueba, así que la omitiré).

Así que si podemos encontrar $q,r$ sush que $1+(1+\zeta)^5=q(1+6)^6+r$ con $N_{L/\mathbb{Q}}(r)<64$ El lema 7.1 y la proposición A.5(6) y (9) nos dicen que $r$ es una unidad o un producto de potencias primos, cada uno equivalente a $1$ mod $32$ . Las condiciones obligan $N_{L/\mathbb{Q}}(r)=1$ . Se sabe que el grupo unitario de $A$ es generado por $(1-\zeta^{i})/(1-\zeta)$ , donde $i$ está en ${1,2,3....,8}$

Examinamos los residuos de cada uno de estos elementos en el grupo multiplicativo $M$ del anillo $A/(1+\zeta)^6$

Desde $(2)=((1+\zeta)^{16}$ como ideales, observamos que

$A/(1+\zeta)^6$ =Z/ $2$ Z[ $\zeta$ ]/ $(1+\zeta)^6$

de la misma, lo que simplifica en gran medida el cálculo. Por último, se puede demostrar (mediante un cálculo directo) que el subgrupo $M$ generada por los residuos de estas unidades tiene un orden $16$ y por lo tanto no contiene el residuo de $1+(1+\zeta)^5$ , dando lugar a una contradicción".

Mis dos primeras preguntas son:

1) ¿Por qué $N_{L/\mathbb{Q}}(r)=1$ ?

2) ¿Por qué el grupo de unidades de $A$ es generado por $(1-\zeta^{i})/(1-\zeta)$ , donde $i$ está en ${1,2,3....,8}$ ?

Un saludo, José

Answer 1

Dejemos que $A = \mathbb{Z}[\zeta_{32}]$ sea el anillo de enteros del campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\zeta_{32})$ . José se refiere a la tesis de grado de Reza Akhtar, Campos numéricos euclidianos ciclotómicos donde da la prueba de Lenstra de que $A$ no es un campo numérico euclidiano.

José pregunta por qué Akhtar afirma que el grupo de unidad de $A$ es generado por $$\frac{1-\zeta^i}{1-\zeta}$$ con $1 \leq i \leq 8$ .

Las unidades anteriores se conocen como "unidades ciclotómicas", y sería más preciso afirmar que el grupo de unidades de $A$ es generado por aquellas unidades ciclotómicas y la raíz de la unidad $\zeta$ .

En general, dado un campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ donde $n$ es una potencia prima, por ejemplo 32, el grupo $C$ de unidades ciclotómicas, se genera por $\zeta$ y unidades de la forma $(1-\zeta^i)/(1-\zeta)$ es siempre un subgrupo de índice finito del grupo unitario completo $E$ . Además, tenemos el notable hecho de que $$h^+ = [E:C],$$ donde $h^+$ es el número de clase del subcampo real máximo $\mathbb{Q}(\zeta_n + \zeta_n^{-1})$ .

En el caso de $n=32$ tenemos que el número de clase de $\mathbb{Q}(\zeta_{32} + \zeta_{32}^{-1})$ es 1 (¡de hecho, J.P. Cerri demostró que es norma-eulicida!). Por lo tanto, $C=E$ .

Añadido más tarde en respuesta a la consulta de José: Tal vez sea mejor hacer el cálculo real:

Dejemos que $X=1-\zeta$ . Entonces estamos trabajando sobre el anillo de cociente $R = \mathbb{F}_2[X]/(X^6)$ . En $R$ los elementos invertibles son los elementos con término constante no nulo.

La raíz de la unidad $\zeta$ corresponde a un elemento invertible $1+X$ en $R$ la unidad ciclotómica $1+\zeta+\zeta^2$ corresponde al elemento invertible $1+X+X^2$ en $R$ y la unidad ciclotómica $1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4$ corresponde al elemento invertible $1+X^3+X^4$ en $R$ . Las otras dos unidades ciclotómicas, $1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3$ y $1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4+\zeta^5$ corresponden a elementos que no son invertibles en $R$ Así que podemos ignorarlos.

Consideremos ahora el subring $M$ del grupo multiplicativo $R^\times$ de $R$ que es generado por $1+X$ , $1+X+X^2$ y $1+X^3+X^4$ . El elemento $1+(1+\zeta)^5$ corresponde a $1+X^5 \in R^\times$ .

Para mostrar: $1+X^5 \notin M$ .

Por cálculo de fuerza bruta, resulta que $M$ es de orden 16 (vs $R^\times$ que es de orden 32), y los elementos de $M$ son: $$\{1, 1+X, 1+X^2, 1+X^3, 1+X^4, 1+X+X^2, 1+X^2+X^4, 1+X^3+X^4, 1+X+X^2+X^3, 1+X+X^3+X^4, 1+X+X^3+X^5, 1+X+X^4+X^5, 1+X^2+X^3+X^5, 1+X+X^2+X^4+X^5, 1+X^2+X^3+X^4+X^5, 1+X+X^2+X^3+X^4+X^5 \}.$$ Mediante una inspección, $1+X^5 \notin M$ y hemos terminado.