Correcto $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}{{y^n\over x}{\ln\left({x\over y}\right)}\over (1-xy)\ln(xy)}\mathrm dxdy=-{2(n+1)(n+3)\over (n+2)^3}?$

Question

Los experimentos demuestran que $(1)$ $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}{{y^n\over x}{\ln\left({x\over y}\right)}\over (1-xy)\ln(xy)}\mathrm dxdy=-{2(n+1)(n+3)\over (n+2)^3}\tag1$$

$n\ne-2$

¿Cómo se puede comprobar que $(1)$ ¿es correcto?

Answer 1

Como el integrando contiene singularidades, la integral no existe. Sin embargo, en un cierto sentido de valor principal, la siguiente integral es cero por $x \leftrightarrow y$ argumentos de simetría: $$P_{xy}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} dx dy \, {\displaystyle{\ln\left({x\over y}\right)}\over (1-xy)\ln(xy)} = 0$$ donde $P_{xy}$ significa que mantenemos la integración simétrica en x e y (por ejemplo, una suma de Riemann que muestrea el cuadrado unitario simétricamente). Por la misma razón, su integral es cero cuando $n=-1$ : $$P_{xy}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} dx dy \, {\displaystyle\frac{1}{xy}{\ln\left({x\over y}\right)}\over (1-xy)\ln(xy)} = 0$$
Por lo tanto, su fórmula es correcta para $n=-1$ pero no para otros valores.