Solicitud de referencia: ser riguroso con un abuso común de la notación.

Question

He reescrito completamente esta pregunta, de acuerdo con este consejos.

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Como ejemplo motivador, supongamos que estamos trabajando en ETCS . Sea $\bar{1}$ denotan el conjunto canónico de los singletons, y afirman que por $x \in X$ lo que realmente queremos decir es que $x : \bar{1} \rightarrow X$ es una función.

Ahora dejemos que $f : X \rightarrow Y$ denotan una función y suponen $x \in X$ . Entonces $f \circ x \in Y$ .

Eso está muy bien, pero hay no un problema, exactamente, sino más bien un inconveniente.

Supongamos que los símbolos $0,1,2,...$ se definen como elementos del conjunto $\mathbb{N}$ . Así, por ejemplo, tenemos que $2 \in \mathbb{N}.$ En otras palabras, tenemos que $2 : \bar{1} \rightarrow \mathbb{N}$ . Supongamos también que definimos $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ al afirmar que $f \circ x = x^2$ . El inconveniente es que $f \circ 2$ está mal definida, porque $2$ tiene codominio $\mathbb{N}$ , mientras que $f$ tiene dominio $\mathbb{R}$ .

La solución, por supuesto, es ver $2$ como elemento de $\mathbb{R}$ en lugar de $\mathbb{N}$ . Técnicamente lo que hemos hecho es elegir una inyección "canónica" $\chi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ . Así, $2$ puede utilizarse como un abuso de la notación para $\chi \circ 2$ y por lo tanto $f \circ 2$ puede considerarse un abuso de la notación para $f \circ \chi \circ 2$ .

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Ese fue un ejemplo motivador, pero el inconveniente es más general.

Por ejemplo, un espacio métrico no tiene conjuntos abiertos. Sin embargo, un espacio topológico tiene conjuntos abiertos, y afortunadamente existe una forma canónica de obtener un espacio topológico a partir de cualquier espacio métrico. Así, podemos hablar de "los conjuntos abiertos de $(X,d)$ " en lugar de "los conjuntos abiertos de $f(X,d)$ ," donde $f$ es un functor $\mathsf{Met} \rightarrow \mathsf{Top}$ .

Así que lo que busco es una forma sistemática de ser riguroso con este tipo de abusos de la notación. Una referencia estaría bien.

Answer 1

Parece que el "sistema de flechas canónicas" sería una "subcategoría que es un poset (¿o un preorden?) y cuyas flechas son todas mono en la categoría original".

Sin embargo, ese concepto no encaja del todo bien con la teoría de categorías en general, porque no respeta los isomorfismos -- y tampoco lo hace su ejemplo motivador, porque hay monoides (??, ¿cuál es su categoría, en realidad?) que son isomorfos a $\mathbb N$ pero no son subconjuntos de $\mathbb R$ (o incluso diferentes subconjuntos de $\mathbb R$ ). Así que no necesariamente se puede transferir su sistema de flechas canónicas a una categoría equivalente.

Answer 2

En programación, se trata de la noción de conversión implícita ; establecemos un sistema de reglas para la conversión entre tipos, y si tenemos un objeto de tipo $X$ que queremos utilizar como tipo $Y$ podemos si una de nuestras reglas de conversión incluye una flecha $X \to Y$ . Por supuesto, es mejor que no tengamos dos tales flechas $X \to Y$ ¡!

En otras palabras, como parte de la misma convención notacional que utilizamos para dar significado a las cadenas de símbolos " $\mathbb{N}$ " y " $\bar{2}$ ", hemos seleccionado un subgrafo $G$ de nuestra categoría. Si tenemos un elemento $x \in X$ y hay una flecha (¡única!) $f:X \to Y$ en $G$ entonces se nos permite usar $x$ donde nuestra notación requeriría una expresión de tipo $Y$ y se interpreta como $f(x)$ (es decir, como $f \circ x$ ).

Esto se aplica no sólo a los elementos globales de los que hablas, sino también a los elementos generalizados.

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A modo de curiosidad, puede que le guste leer Retículas de campos finitos embebidos compatibles que documenta cómo magma maneja las conversiones implícitas entre campos finitos.

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Otra cosa que hay que tener en cuenta es que $\mathbb{N}$ no es sólo un objeto en el topos. En su lugar, (junto con $\overline{1}$ , $z$ et $s$ ) es una parte de algún objeto numérico natural $\mathcal{N}$ . Además, no hay ninguna razón $\mathcal{N}$ tiene que ser un específico objeto de número natural: puede ser un indeterminado ¡objeto de número natural!

Así que podemos configurar las cosas para que cuando definamos $2 = ssz : \overline{1} \to \mathbb{N}$ Estamos hablando de todo objetos de números naturales a la vez. Desenrollando la notación, estamos esencialmente definiendo $2$ como un functor desde el grupo de objetos numéricos naturales de nuestro topos a la categoría de flechas de nuestro topos.

(¡los elementos generalizados son geniales!)

De forma más general, en el fondo de nuestra cabeza, todos los objetos con nombre y flechas que nos interesan están dispuestos en un boceto (definiciones en wikipedia et nLab ) que recuerda que $\mathbb{N}$ se supone que está dispuesto en un objeto numérico natural y que $\mathbb{R}$ (junto con su estructura correspondiente) es la terminación Dedekind del campo de fracciones de la terminación en anillo de la estructura semirrígida canónica sobre el objeto número natural $\mathcal{N}$ .

De hecho, es a partir de este boceto que seleccionamos nuestras flechas canónicas. Y para cualquier modelo de este esbozo que escoge objetos específicos de nuestro topos para $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$ y todo lo demás, el modelo selecciona también las flechas canónicas correspondientes.

Si somos ambiciosos, podemos incluso suponer que estamos trabajando con un indeterminado para que todo lo que hagamos se lleve a cabo en todos los modelos a la vez.

(en realidad, necesitamos algo más fuerte que un boceto: la construcción de $\mathbb{Z}$ de $\mathbb{N}$ puede ser esbozado. Pero no creo que la condición que establece que $1 \to \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ es un NNO puede ser esbozado. Así que hay restricciones adicionales sobre los modelos que se permiten)

Answer 3

El problema es, por supuesto, que nos gustaría hablar de los números como una especie de "ureles", pero es dudoso ya que requerimos una construcción de $\omega$ et $\mathbb N$ a través de $\mathbb Z$ a $\mathbb R$ et $\mathbb C$ (y a otros objetos como $\mathbb C[X]$ ). Obsérvese que hay diferentes formas de realizar estas construcciones, por ejemplo, los elementos de $\mathbb R$ pueden ser clases de equivalencia de secuencias de Cauchy módulo cero, o pueden ser cortes Dedekind. Se demuestra entonces que esto no importa. Y de hecho como la construcción realmente no importa, uno puede implementar dichas extensiones de $A$ a $B$ como sigue: Se hace una construcción teórica de un conjunto de $B'$ (digamos, $B'$ es el conjunto de cortes Dedekind de $A$ ), nótese que existe un mapa de inclusión canónico $\iota\colon A\to B'$ y que $B=(B'\setminus\iota(A))\cup A$ . Si le preocupa que podamos tener $A\cup B'\ne\emptyset$ , es posible que prefiera cuidadosamente $B=((B'\setminus\iota(A))\times\{A\})$ . Siempre es borrar que esto se puede hacer, por lo que a nadie parece importarle realmente.

Este concepto suele reducirse al concepto de teoría de la categoría propiedades universales . Por ejemplo: Entre todos los homomorfismos unitarios de anillo $\mathbb Z\to Q$ donde $Q$ resulta ser un campo y no sólo un anillo, existen algunos especiales: Siempre que $\mathbb Z\to Q'$ es otro homomorfismo de anillo unitario a un campo $Q'$ , hay exactamente un homomorfismo de campo $Q\to Q'$ . Un ejemplo puede obtenerse dejando que $Q=\mathbb Q$ (y tomando el mapa de "inclusión"). Por la propia propiedad universal, se deduce que cualquier otros $\mathbb Z\to Q$ con esta propiedad es isomorfo al ejemplo específico $\mathbb Z\to \mathbb Q$ De hecho, es canónicamente isomorfo porque hay un único isomorfismo. Es posible que necesitemos alguna construcción teórica de conjuntos para mostrar la existencia de un tipo tan universal, pero después de eso no tenemos que preocuparnos por el aspecto de sus intestinos. En muchos casos, resulta que el homomorfismo en cuestión (es decir, aquí $\mathbb Z\to Q$ ) es inyectiva (en la medida en que esto tenga sentido, es decir, los homomorfismos son de hecho mapas entre conjuntos -para ser precisos deberíamos hablar aquí del functor de olvido a la categoría de conjuntos...). En este caso tiene sentido ver un objeto como subobjeto del otro y ver el homomorfismo como el inclusión. Es porque "conocemos" el objeto universal sólo hasta el isomorfismo canónico de todos modos.

Sin embargo, el asunto debe se aborden definitivamente de una forma u otra en un libro de texto.