¿Cómo es que $ a\sin(a-b) $ convertirse en $2a\sin\frac{a-b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$ ?

Question

Estoy haciendo Elementos de geometría por S.L. Loney. En un ejercicio, la respuesta requiere simplificar una ecuación trigonométrica de $$ a\sin(a-b) $$ a $$2a\sin\frac{a-b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$$ ¿Cómo se puede pasar de una forma a otra?

He encontrado un vídeo en internet que hace exactamente el mismo problema del libro pero no explica cómo se hace la transformación. Como referencia: https://youtu.be/SmvA3wOXEhA?t=301

¿Cómo se puede pasar de la primera forma a la última? Estoy buscando en mi libro de trigonometría y no encuentro esta identidad trigonométrica.

Answer 1

Utilice el fórmula del ángulo doble para $\sin$ que establece que $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ para todos los valores de $x$ . Al establecer $x=(a-b)/2$ vemos que $$ \sin(a-b)=\sin\left(2\times\frac{a-b}{2}\right)=2\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \, . $$ Si multiplicamos ambos lados de esta ecuación por $a$ obtenemos el resultado deseado.