En los premios Emmy Noether de 1915 papel "Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher Gruppen", vi la noción de un 'Galois resolvent', que no acabo de entender. Google realmente no me ayuda con eso, ya que parece ser diferente de lo que he encontrado a esta noción. Permítanme tratar de traducir lo que sucede allí:
Tenemos un grupo finito $H$ de los invertible $n\times n$-matrices $A_1,\dots,A_h$ donde $A_k=(a_{ij}^{(k)})$, con entradas en algún campo $K$ de los característicos $0$ (realmente no soy 100% seguro de si esto es suficiente, en un artículo posterior habla de 'übliche Zahlkörper'). A continuación, $H$ actúa sobre el polinomio anillo de $K[x_1,\dots,x_n]$, en el que mostramos $x=(x_1,\dots,x_n)^T$, a través de
$$(A_k,x)\mapsto A_k\cdot x,$$
y se denota $A_k\cdot x$$x^{(k)}$. Dado que uno de los $A_k$ es la identidad, hay un $k$ tal que $x^{(k)}=x$.
Ahora un polinomio invariante de $G$ algunos $f\in K[x_1,...,x_n]$ que $A_k\cdot f=f$ todos los $k$. En otras palabras, tenemos
$$f(x)=f(x^{(1)})=\dots=f(x^{(h)})=\frac{1}{h}\sum_{k=1}^hf(x^{(k)}).$$
Ahora viene la parte donde estoy atascado, trato de traducir lo mejor que puedo:
Esta fórmula expresa que el $f$ es un polinomio simétrico de la función en el $x^{(k)}$. El teorema sobre simétrica funciones de "Größenreihen" (no sé cómo traducir esto) dice que $f$ puede ser representado en un polinomio manera los de primaria simétrica de las funciones de estos "Reihen" (de la serie), que es, por los coeficientes $G_{\alpha,\alpha_1,\dots,\alpha_n}(x)$ de los "Galois resolvent":
\begin{align*}\phi(z,u)&=\prod_{k=1}^h(z+u_1x_1^{(k)}+\dots+u_nx_n^{(k)})\\&=z^h+\sum G_{\alpha,\alpha_1,\dots,\alpha_n}(x)z^\alpha u_1^{\alpha_1}\cdots u_n^{\alpha_n}\begin{pmatrix}(\alpha+\alpha_1+\dots+\alpha_n=h)\\\alpha\neq h\end{pmatrix},\end{align*}
donde el $G_{\alpha,\alpha_1,\dots,\alpha_n}(x)$ son invariantes de grado $\alpha_1+\dots+\alpha_n$$x_i$.
En realidad no tengo ni idea de dónde $u,z$ provienen. Pensaba que había una bonita expresión para la primaria simétrica polinomios, y que ellos son los coeficientes de una forma mucho más simple polinomio. El teorema mencionado anteriormente no es mencionada más, supongo que la principal teorema sobre la simétrica polinomios que se quiere decir, pero no puedo obtener la conexión a esta extraña fórmula.
Me gustaría si alguien podría ayudarme a salir de aquí, y explicar donde esta 'Galois resolvent' viene y ¿cuál es la conexión a la 'costumbre' cosas acerca de los polinomios simétricos. Muchas gracias de antemano!
